数的概念是如何不可避免的?

基于在数不胜数:一个跨学科的会议,讨论各学科的基数、序数和算术的概念

每个人都必须有数字......不是吗?

外星人乘坐星际飞船到达.当然,有人可能会想,要拥有所有这些技术,他们必须有数字的概念。或者有人在丛林深处发现了一个与世隔绝的部落。当然,他们也一定有数字的概念。对我们来说,数字似乎是如此自然和“显而易见”——很难想象每个人都不拥有它们。但如果再深入一点,就不那么清楚了。

据说,人类语言中有表示“一”、“一对”和“许多”的词,但没有表示具体较大数字的词。在现代科技世界里,这似乎是不可想象的。但想象一下你在丛林里,带着你的狗。每只狗都有特定的特征,最有可能的是有特定的名字。为什么你要把他们作为一个整体来看待呢?

想象一下,你有一些复杂的AI。也许这是飞船的一部分。而在它这个计算是怎么回事:

& # 10005

Robobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobo[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[3]]]]]]]]]金属金属[[[bobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobobo数据[[[[[[[[[bobobobobobobobobo}]}],“]”}],“,”,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,行行行...........................................................................................................................................}“}]}],“,”,行框[{“帧”,“->”,“无”}],“,”,行框[{“ImageSize”、“->”、“600”}]、“]“}]]、“Input”、CellChangeTimes->{{3.8306420749230623`*^9、3.830642123424028*^9}、{3.8306421623971853`*^9、3.830642162868969*^9}、CellID->872715772]

这里的数字在哪里?有什么好数的?

让我们改变一下计算规则。下面是我们得到的结果:

& # 10005

细胞[BoxData [RowBox [{ “ArrayPlot”, “[”,RowBox [{RowBox [{ “CellularAutomaton”, “[”,RowBox [{RowBox [{ “{”,RowBox [{ “641267”, “”,RowBox [{ “{”,RowBox [{ “5”, “ ” “1”}], “}”}]}], “}”}],“, ”RowBox [{“ BlockRandom”,“[ “RowBox [{RowBox [{ ”SeedRandom“, ”[“, ”234234“, ”]“}], ”;“,RowBox [{ ”RandomInteger“, ”[“,RowBox [{ ”4“,”, “ ”400“}], ”]“}]}], ”]“}],”, “RowBox [{”{ “RowBox [{ ”220“,”,“, ”所有“}],"}"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"ColorRules", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"0", "\[Rule]", "Black"}], ",", RowBox[{"1", "->", "Red"}], ",", RowBox[{"2", "->", "Blue"}], ",", RowBox[{"3", "->", "Yellow"}], ",", RowBox[{"4", "\[Rule]", "Green"}]}], "}"}]}], ",", RowBox[{"Frame", "->", "None"}], ",", RowBox[{"ImageSize", "->", "600"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.8306420749230623`*^9, 3.830642123424028*^9}, { 3.83064219850028*^9, 3.8306422038874493`*^9}, {3.830642239353552*^9, 3.830642246431511*^9}}, CellID->2060456635]

现在我们开始有了一些数字似乎更相关的东西。我们可以识别出一堆结构。它们并不完全相同,但它们有一些共同的特征。我们可以想象通过说“有11个物体…”来描述我们看到的东西。

数字概念的基础是什么?

狗、羊、树、星星。它们是什么样的东西都不重要。一旦你收集了一个你认为所有的东西都是同一种类的东西,你就可以想象出它们的数量。在每一步中,每一步都要考虑它们的每一个步骤。通过计算来建立比如:

& # 10005

细胞[BoxData [RowBox[{“追加”、“[”,RowBox [{RowBox[{“NestList”、“[”,RowBox [{" s ", ", ", " 0 ", ", ", " 8 "}], "]"}], ",", "\[ 省略 ]"}], "]"}]], " 输入“CellChangeTimes - >{{3.8306430011394978 * ^ 9日3.8306430157806883”* ^ 9},3.830643443470106 * ^ 9日{3.830644262369773 * 3.830644248491436 * ^ 9日^ 9},3.830905650127592 * ^ 9},CellID - > 1694952072)

对于普通整数,我们可以解释S.作为“继承函数”,或“加1”。但在基本层面上,真正重要的是,我们已经将考虑每一个原始的东西单独地简化为重复地应用一个操作,从而得到一系列结果。

然而,要达到这一点,还有一个至关重要的早期步骤:我们必须对“事物”有一些明确的概念,或者本质上是对不同物体的概念。我们的日常世界当然充满了这些。有不同的人。不同的长颈鹿。不同的椅子。但如果我们想想云,就不那么清楚了。或者一阵阵的风。或抽象的概念。

那么,是什么让我们能够识别某些确定的“可数的东西”呢?不知何故,“事物”必须有某种不同的存在——某种程度的持久性或普遍性,以及某种独立和与其他事物分离的能力。

我们可以想象有许多不同的具体标准。但有一种我们人类非常熟悉的方法:我们用人类语言谈论“事物”的方式。我们拍摄一些视觉场景。但当我们用人类语言来描述它时,我们总是有效的来象征性的描述的场景。

那里有一簇橙色的像素。棕色的在那边。但在人类语言中,我们试图将所有细节简化为更简单的符号描述。那边有一把椅子。那边有张桌子。

我们是否能够以任何有意义的方式进行这种“象征化”,这一点并不明显。但使之成为可能的是,我们所看到的片段是足够可重复的,我们可以把它们视为“同类事物”,例如,用人类语言给它们起明确的名字。“这是一个表;这是一把椅子;等”。

有一个复杂的反馈循环,我写过其他地方.如果我们看到的东西往往不够,这是有道理的,给它一个名称(“这是一个灌木”,“这是一个耳机”)。但是,一旦我们给它一个名字,它更容易让我们谈论和思考它。因此,我们往往会发现或产生更多的它,这使得它在我们的环境中更为常见,多为我们所熟悉。

抽象地说,“符号化”的可能性并不明显。世界的基本行为可能总是会产生越来越多的多样性和复杂性,而不会产生任何类型的“重复对象”,例如,可以合理地给出一致的名称。

有人可能会想象,只要一个人相信世界遵循一定的规律,那么必然会有足够的规律性来保证“符号化”是可能的。但这忽略了计算不可约性

考虑规则:

& # 10005

细胞[BoxData [RowBox[{“RulePlot”、“[”,RowBox [{RowBox[{“CellularAutomaton”、“[”,RowBox[{“{”,RowBox[{”、““11497”,“3”,“,”,RowBox[{“1”,“/”,“2 "}]}], "}"}], "]"}], ",", RowBox[{“ColorRules”、“\[原则]”,RowBox[{“{”,RowBox [{RowBox[{“0”,“\[原则]”,RowBox[{“深”、“[”,RowBox[{“黄色 ", ",", ".05"}], "]"}]}], ",", RowBox[{"1", "->", RowBox[{"Darker", "[", "Red", "]"}]}], ",", RowBox[{"2", "->", RowBox[{"Darker", "[", "Blue", "]"}]}]}], "}"}]}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.8306502296691*^9, 3.8306502564832697`*^9}, { 3.830650293899901*^9, 3.83065030003624*^9}, {3.8306504803757343`*^9, 3.830650516874546*^9}}, CellID->297907960]

我们可以想象,有了这样一个简单的规则,我们将不可避免地能够用一种简单的方式描述它所产生的行为。而且,是的,我们总是可以运行规则来找出它产生的行为。但这是一个错误计算宇宙的基本事实结果不一定很简单:

& # 10005

细胞[BoxData [RowBox[{“ArrayPlot”、“[”,RowBox [{RowBox[{“CellularAutomaton”、“[”,RowBox [{RowBox[{“{”,RowBox[{”、““11497”,“3”,“,”,RowBox[{“1”,“/”,“2 "}]}], "}"}], ",", RowBox[{“{”,RowBox [{RowBox[{“{”、“1 ", "}"}], ",", " 0 "}], "}"}], ",", RowBox[{“{”,RowBox [{" 300 ", ", ", " "}], "}"}]}], "]"}], ",", RowBox[{“ColorRules”、“\[原则]”,RowBox[{“{”,RowBox [{RowBox[{“0”,“\[原则]”,“黄 "}], ",", RowBox[{”1 ", "->", " 红色的 "}], ",", RowBox[{”2 ", "->", " 蓝色的 "}]}], "}"}]}], ",", RowBox[{”框架 ", "->", " 没有一个 "}]}], "]"}]], " 输入“CellChangeTimes - >{{3.8306501039736633, 3.830650148180499 * ^ * ^ 9日9},{3.8306502643578453 * ^ 9日3.8306502688904037”* ^ 9},3.830650349517728 * ^ 9},CellID - > 215317600)

一般情况下,我们可以预期行为将是计算上不可约的,也就是说,如果不有效地跟踪应用规则的每一步,就无法复制它。

有这样的行为

& # 10005

细胞[BoxData [RowBox [{RowBox [{RowBox [{ “ArrayPlot”, “[”,RowBox [{RowBox [{ “CellularAutomaton”, “[”,RowBox [{RowBox [{ “{”,RowBox [{“#“”, “ ”3“,”, “RowBox [{” 1" , “/”, “2”}]}], “}”}], “ ”RowBox [{“{”,RowBox [{RowBox [{ “{”, “1”, “}”}], “ ” “0”}], “}”}],“, ”RowBox [{“{”,RowBox [{“100”, “ ” “全部”}], “}”}]}], “]”}],“, ”RowBox [{“ ColorRules”, “\ [规则]”,RowBox [{”{ “RowBox [{RowBox [{ ”0“, ”\ [规则]“, ”黄色“}],”, “RowBox [{” 1" , “ - >”, “红”}],”,“RowBox [{ ”2“, ” - >“, ”蓝“}]}], ”}“}]}],”, “RowBox [{” 帧”, “ - >”, “无”}]}], “]”}], “&”}], “/ @”,RowBox [{ “{”,RowBox [{ “16451”, “ ” “4983”,“,”, “8624”}], “}”}]}]], “输入”,CellChangeTimes  - > {{3.8306514949747677` * ^ 9,3.830651530814527 * ^ 9},{3.830651825483645 * ^ 9,3.8306518257404203` * ^ 9}},CellID->1121547572]

完全有可能想象对正在发生的事情给出一个完整的符号描述。但是一旦有了计算上的不可约性,这就不可能了。没有办法得到一个完整的描述“压缩”symbolicized描述整个行为的一部分。

那么,我们为什么要用语言以“符号”的方式来描述这么多呢?事实证明,即使像我们的宇宙这样的系统在计算上基本上是不可约的,它也不可避免地会有“口袋”计算的可还原性。这些计算的可还原性对于我们在宇宙中如何运作至关重要。因为它们让我们对世界有一个连贯的体验,事情的发生可以根据可识别的规律预测,等等。

它们还意味着,尽管我们不能期望用象征的方式描述一切,但总有一些事情是我们可以做到的。在一些地方,我们可以期望数字的概念是有用的。

宇宙是什么样的

物理学的历史可能会让人认为,数字将是我们物理宇宙的任何基本理论结构的必要组成部分。但是,18l18luck新利 由我们的物理项目与数字没有内在联系。

相反,它们只涉及一个18l18luck新利 根据一定的规则不断被改写。本质上没有坐标,或量,或任何通常与数字相关的东西。尽管潜在的规则可能很简单,但系统的整体行为细节是高度复杂的,充满了计算的不可约性。

但关键是,作为系统中嵌入特定特征的观察者,我们只是对它的某些特征进行抽样。我们采样的特征实际上是利用了可还原性的口袋。这是像数字这样的“简化概念”可以进入的地方。

让我们来谈谈第一18l18luck新利 .我们已经习惯了时间以某种线性方式发展的体验,也许可以通过计算地球的自转(如天数)来进行区分。但在我们模型的最低层次上,时间并不是这样的。相反,宇宙是通过网络中发生的许多基本更新事件而进化的。

这些更新事件具有一定的因果关系。(例如,一个特定的更新事件可能“因果地依赖”另一个事件,因为它使用另一个事件的“输出”作为“输入”。)最后,有一个整体“18l18luck新利 “更新事件之间的因果关系:

& # 10005

CloudGet(“https://wolfr.am/KXgcRNRJ”),(* drawFoliation *) gg =图(ResourceFunction[“WolframModel”][{{x, y}, {z, y}} - > {{x, z}, {y, z}, {w、z}},{{0},{0}}, 14日" LayeredCausalGraph "]];semiRandomWMFoliation ={{1},{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10},{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12日,13日,14日,15日,16日,17日,18日,19日,20日,21日,22日,23日,24日,25日,26日,28日,30日,42岁,43岁,58岁的59},{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12日,13日,14日,15日,16日,17日,18日,19日,20日,21日,22日,23日,24日,25日,26日,27日,28日,29日,30日,31日,32岁,33岁,34岁,35岁,36岁,37岁,38岁,39岁,40岁,41岁,42岁,43岁,44岁,45岁,46岁,47岁,48岁,49岁,50岁,51岁,52、53 58 59岁,61年,62年,64年,65年,66年,68年,69年,70年,79年,80年,81年,83年,84年,95},{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12日,13日,14日,15日,16日,17日,18日,19日,20日,21日,22日,23日,24日,25日,26日,27日,28日,29日,30日,31日,32岁,33岁,34岁,35岁,36岁,37岁,38岁,39岁,40岁,41岁,42岁,43岁,44岁,45岁,46岁,47岁,48岁,49岁,50岁,51岁,52岁,53岁,54岁,55岁,56岁,57岁的58岁的59岁,60岁,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76、78、79、80、81、82、83、84、85、86、87、88、89、90、91、92、93、94、95、96、97、102、101、104、109、110、111、113、112、114、115、116、117、118、119、120、121、122、123、124、125、127、128、130、131、132、133、134、147、166}};安静的[drawFoliation [semiRandomWMFoliation gg,指令[红色]],FindRoot:: cvmit]

完整的因果图是非常复杂的,充满了计算的不可约性。但作为观察者,我们只选取了这张图的某些特征。——正如我最近讨论的其他地方-我们意识概念的本质似乎是定义这种抽样的某些方面。特别是,尽管宇宙中有所有的更新事件,以及它们之间复杂的因果关系,我们最终还是通过想象我们有一个明确的“顺序化”的经验线索来“解析”我们所获取的样本,或者实际上时间以纯粹的线性方式发展。

我们如何做到这一点?为思考时空和相对性而开发的一种方便的理想化方法是建立一个“参考框架”,我们将因果图划分为一系列切片(如上面的图),我们认为在连续的“时刻”中,它对应于“宇宙的瞬时完全状态”。这样做的一致性并不明显。但在因果不变性对于观察者的计算界限的假设,结果证明是正确的——对于这样一个观察者来说,宇宙的“经验”必须遵循我们从广义相对论中知道的物理定律。

关于数字的出现,这告诉了我们什么?在最低层次上,宇宙充满了计算的不可约性,其中没有任何像数字这样的明显迹象。而是体验宇宙通过我们意识的基本特征我们从本质上强制时间具有某种“数字式”的顺序性,这反映在广义相对论的有效性中,其时间概念“本质上是数字化的”。或者,换句话说,“时间”(或者“宇宙的进程”)本质上不是“数字的”。但我们作为“有意识的观察者”的方式——取样,它必然是顺序的,一个时刻被另一个时刻所取代,基本上是一个“数字”序列。

但是,它是一回事,在“时间片”中阐明宇宙的行为,其中所有空间都被引用在一起。但是对于一个能够在时间的推移中“算”的时刻(说聚集到几天),那些时刻必须有一定的“明确”。宇宙在每次连续时刻都无法做出疯狂的东西;它必须具有一定的一致性和统一性,让我们考虑不同的时刻,以某种方式“相当于”,以便能够简单地“计算”。

事实上,作为我们模型的大规模限制的一般相对性的出现(如同美国的观察者观察)几乎保证了这种结果,除了在某些病态或极端情况下。

对我们这样的观察者来说,宇宙中的时间在某种意义上是“不可避免的数值”。但是太空呢?在我们模型的最低层次上,空间只是由一个18l18luck新利 .要讨论“空间距离”之类的问题,我们首先必须得到某种“时间一致”的网络版本。这和时间的情况差不多。为了得到时间如何工作的简单定义,我们必须省略空间。现在,为了有机会得到一个关于空间如何运作的简单定义,我们必须以某种方式“省略时间”。

或者,换一种说法,我们必须考虑瓜分因果关系图成“空间区域”(纵“类时”水平“类空切片”我们上面使用的模拟),在这里我们可以有效结合发生在所有事件任何时候,在“空间区域”。(不用说,在实践中,我们不希望它是“任何时候” - 只是某个时间跨度相比较长个别更新事件之间有什么逝去。)

“意识假设”(即时间以单一的、连续的线索进行)的空间类比是什么?假设我们可以在不考虑时间的情况下对空间进行采样,或者换句话说,我们可以始终如一地构建一个稳定的空间概念。

假设我们试图在两个“空间点”之间找到最短的“旅行路径”。一开始,定义相当微妙,尤其是因为空间中没有“静态定义的”点。网络的每一部分都在不断地被重写,所以在某种意义上,当你“到达另一个点”时,它肯定不会是你开始时的“空间原子”。为了避免这种情况,你必须避开时间。就像时间序列化的类空间切片一样,可以做出某些一致的类时间切片选择。

假设做出了这样的选择,那么在空间中的点之间就会有“时间省略”(或者,大致上,与时间无关)的路径,类似于我们之前的“空间省略”路径“穿越时间的路径”。那么我们怎么可能呢测量空间中路径的长度,或者说两点之间的距离?与时间的情况直接类比,如果空间结构有足够的一致性,那么我们可以期待“数东西”来得到一个数值版本的距离。

时间的顺序化让我们有这样一种感觉,即我们在时间中保持了一种连贯的存在——以及一种连贯的经验线索。在空间中做类似事情的能力让我们觉得我们在空间中有一个连贯的存在,或者,换句话说,当我们在空间中移动时,我们可以保持自己的身份。

原则上,有可能是没有像“纯运动”:它可能是任何“空间运动”必然会改变事物的结构和性质。但问题是,一个可以持续标签位置的空间,因此,这不会发生,而“纯粹的运动”是可能的。一旦我们做到了这一点,我们同样基本上迫使那里是距离的概念,可以用数字来衡量。

好吧,但如果我们以一种我们期望的方式对宇宙进行采样一个有意识的观察者在他们移动的过程中保持他们的身份,那么我们测量时间和空间的方式就不可避免地有了某种“数字特征”。但是什么是“宇宙中的物质”呢?我们能指望它也能用数字来表征吗?我们在上面谈到了“事情”。宇宙中是否包含一些例如容易被计算的“事物”?

请记住,在我们的模型中,整个宇宙——以及其中的一切——只是一个巨大的网络。在最低层次上,这个网络只是空间的原子和它们之间的联系——我们不能马上把它们看作是“东西”。但我们认为,在网络的结构中,本质上有更像“事物”的拓扑特征。

一个很好的例子是黑洞.当我们观察这个网络——尤其是因果图——我们可以潜在地识别事件视界和黑洞的特征。我们可以想象“计算黑洞”。

是什么让这成为可能?首先,黑洞具有一定程度的永久性。第二,它们在很大程度上可以被视为独立的。第三,它们都可以很容易地被认定为“同一种东西”。不用说,这些特征都不是绝对的。黑洞形成、合并、蒸发,所以并不是完全永久的。黑洞之间可能存在引力效应,也可能存在量子效应,因此它们并不完全独立。但它们是永久的、独立的,所以将它们视为“确定的事物”是一种有用的近似方法,可以很容易地计算出来。

除了黑洞,宇宙中还有另一个“可数”事物的例子:颗粒,如电子,光子,夸克等. (是的,如果在我们的模型中粒子和黑洞之间有着深刻的联系,这也不会让人感到惊讶。)像黑洞这样的粒子有些永久,有些独立,并且具有高度的“相同性”。

粒子的一个定义特征是,它们在一定程度上是局部性的(对我们来说,可能是在物理空间和鳃空间),并与时间保持一致。它们可以被释放和吸收,所以不是完全永久的,但它们以某种方式存在了足够长的时间,可以被识别出来。

这是物理学的一个基本观察,即粒子只以特定的离散物种出现——在这些物种中,每个粒子(比如每个电子)除了位置和动量(以及自旋方向)之外都是相同的。我们还不知道在我们的模型中这些粒子是如何工作的,但假设它们与网络行为中某些离散的可能“拓扑障碍”相对应。就像流体中的漩涡一样,它们的拓扑特征赋予了它们一定的持久性。

值得理解的是,在我们的模型中,并不是“宇宙中发生的一切”都可以用粒子来描述。原则上,人们可以认为网络中的每一个活动都以某种方式与一个足够小或寿命足够短的“粒子”有关。但大多数情况下,我们将不会有“空间”,让某种我们可以确定为特定“可数”粒子的特征出现。

一个极端的例子是传统量子场论中的零点涨落:一个永远存在的无限短寿命虚拟粒子对集合。在我们的模型中,这不是人们立即想到的粒子,而是网络中的持续活动“编织空间”。

但是,在回答物理是否不可避免地导致了数字的概念这个问题时,我们可以肯定地指出,在某些情况下,可以确定的“可数”粒子是可以被识别的。但这是否就像我们上面讨论的时间和空间的情况:数字在某种程度上“不是内在的”,而是“像我们这样的观察者”所看到的?

我怀疑答案是“是”。但现在我们作为观察者的特色是我们在多个独立的过程或实验方面考虑宇宙。我们设置了一些东西,以便我们能够专注于散射两种颗粒,最初与其他一切完全分开。但是如果没有这种分离,我们就没有真正的方法可以可靠地“计算粒子”,并表征在特定粒子方面发生的事情。

实际上在a中有一个直接的类比简单的细胞自动机.左边是一个涉及“分离的可数粒子”的过程;在右边——使用完全相同的规则——没有类似的基于粒子的“渐近状态”:

& # 10005

与[GraphicsRow [{{bkg = ResourceData[“7 ef9f422 - 9541 - 4 - a0f bec2 cf3e310fe5f2”,所有](“背景”),碰撞= Normal@ResourceData[“7 ef9f422 - 9541 - 4 - a0f bec2 cf3e310fe5f2”,所有][“碰撞”]},ArrayPlot [CellularAutomaton [#, 110 + {-100100} {300200}], ColorRules - >{0 - >浅黄色,1 - >红},框架- >没有]和[碰撞[[1,“InitialConditions”]][[1]]]],ArrayPlot[细胞rAutomaton[110年,BlockRandom [SeedRandom [2423]; RandomInteger [1200]], 300], ColorRules - >{0 - >浅黄色,1 - >红},框架- >没有]}]

所有计算可约性都是数值的吗?

正如我们所讨论的那样,即使有简单的基本规则,许多系统表现在计算束缚的方式。但是,当有计算还原和时,在一定意义上,我们可以成功地“跳跃前进”在计算中,始终参与这样做数字?

在这样的情况下,

& # 10005

RoRobox,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}“}]}],“]”}],“,”,行框[{“颜色规则”,”\[规则],,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,RoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRoRo753“}],“}”}]],“输入”,CellChangeTimes->{{3.83081402143989*^9,3.830814088320113*^9},CellID->2039815390]

当行为中有明显的重复时,数字是明确将要发生什么的明显途径。想知道系统在第一步做什么T.?只要记下号码就行了T.然后对它进行一些“数值计算”(通常这里涉及到模运算),然后立即得到结果。

但很多时候,你最终治疗T作为一个“只在名称数量”。考虑嵌套模式,比如这些:

& # 10005

GraphicsRow [CellularAutomaton [{#,3,1 / 2},{{1},0},200],污染 - > {0->黄色,1->红色,2->蓝色},框架 - >无,图像中 - > {自动,170}]&/ @ {17920,18363,18323,4358}]]

这是可能的行为在一步T.以计算简化的方式,但它涉及T.与其说是一个数字(人们可能会说,做算术),不如说是一个计算按位函数的位序列喜欢BitXor在…上

当然,在其他情况下,在计算中跳跃的能力特别依赖于数字的属性。有点一个特殊的例子是元胞自动机其行可以被认为是以6为基数的数字的数字,在每一步都乘以3(不明显这个过程是否正确)本地到数字,“细胞自动机风格”,但它是):

& # 10005

细胞[BoxData [RowBox[{“ArrayPlot”、“[”,RowBox [{RowBox[{“PadLeft”、“[”,RowBox[{“表”、“[”,RowBox [{RowBox[{“IntegerDigits”、“[”,RowBox [{RowBox[{“3”、“^”,“t "}], ",", " 6 "}], "]"}], ",", RowBox[{“{”,RowBox[{“t”,”、“,”200年 "}], "}"}]}], "]"}], "]"}], ",", RowBox[{“ColorRules”、“\[原则]”,RowBox[{“平面化”、“[”,RowBox[{“{”,RowBox [{RowBox[{“0”,“\[原则]”,“白 "}], ",", RowBox[{“表”、“[”,RowBox [{RowBox[{“我”,“- >”,RowBox[{“深”、“[”,RowBox[{“青色”、”、“RowBox[{”。1”、“”、“我 "}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{“{”,RowBox[{”、““我”,“5 "}], "}"}]}], "]"}]}], "}"}], "]"}]}]}], "]"}]], " 输入“CellChangeTimes - >{{3.830815710139923 * ^ 9、3.8308158542493687 * ^ 9}},CellID - > 2141486456)

在这种情况下,行重复平方虽然被认为是数字,但实际上很快就会得到结果T.也是更多地用于数字而不是“数值”。

当人们探索计算宇宙时,到目前为止最常见的计算还原来源是重复和筑巢。但也有其他例子。有几个显然是“数字的”。但大多数情况并非如此。通常情况下,发生的只是一个更有效的替代方案用来计算与原始程序相同的结果。但更有效的程序仍然是“只是一个程序”,与任何涉及数字的东西都没有特别的联系。

以数字为基础进行特定计算的快速方法通常被视为确切的解决方案相应的数学问题。这种精确的解决方案往往很受重视。但它们也往往是少之又少,而且相当具体。

除了重复和嵌套,还有其他“通用”的计算可约性形式吗?在一般情况下我们不知道- 虽然它会是找出一件重要的事情。尽管如此,仍有在某种意义上是一个其他类型的计算还原的,我们确实知道,而且一直很广泛应用于数学科学:连续性现象

到目前为止,我们主要讨论的是整数,在某种程度上可以用来“计算不同的事物”。但在数学和数学科学中,通常不考虑离散整数,而是考虑实数的连续性。

甚至当有一些离散的过程会在下面,可能甚至显示计算不可还原性,它仍然可以在连续极限有一个“数字说明”的情况下,说,在微分方程方面。如果一个人的长相,说,在元胞自动机,这是相当很少有这样连续极限的例子.但是在我们的模型中物理项目-它的内部结构要小得多,这似乎是一个普遍的特征,即有一个连续的极限,可以用连续的方程来描述就是传统数学物理中出现的那种

但除了用极限来推导连续体行为,我们还可以以符号方式指定其变量为从一开始,比如说,都是实数。在这种情况下,人们可能会认为一切都是“以数字为基础”的。但事实上,即使在这样的情况下,事情也可能更加复杂。

是的,对于那些方程通常在教科书中讨论,它是常见的,可以获得可以表示的解决方案,以评估数量的某些功能。但如果一个人看看其他方程在其他情况下,通常没有已知的方法来获得这些“精确解”。相反,人们基本上必须尝试找到一个显式的计算来近似方程的行为。

在许多情况下,这样的计算最终可能是无法计算的。是的,原则上是用数字来表示的。但决定发生什么的主要力量是一个一般的计算过程,而不是依赖于数字的特定结构。

顺便说一下,在过去的几十年里,随着越来越多具有复杂行为的系统建模的完成,有一个压倒性的班次远离基于方程式(和数字)的模型直接基于计算和计算规则。

但是我们必须使用数字吗?计算的未来

为什么我们如此频繁地使用数字?是关于这个世界的吗?还是更多的是关于我们自己?

我们在上面讨论了基础物理学的例子。我们认为,即使在最基本的层面上,数字真的不涉及,但我们对宇宙中发生的事情的抽样,让我们得出了一个确实涉及数字的描述。在这种情况下,我们取样宇宙的方式的起源深深植根于我们意识的本质,以及我们体验宇宙的基本方式,通过我们特定的感官,我们在宇宙中的位置,等等。

在科学和工程的历史上数字的出现是怎样的呢?为什么它们在那里如此普遍?在某种意义上,就像宇宙的情况一样,我不认为我们正在处理的底层系统有任何与数字的基本联系. 相反,我认为这是因为我们选择了对这些系统的某些方面进行“取样”,我们可以以某种方式理解或控制这些方面,而这些方面往往涉及数字。

在科学 - 特别是物理科学中 - 我们倾向于专注于在有资金和实验中进行建立的情况和实验,并在那里我们可以使我们能够预测如何发生的事情。同样在工程中,我们倾向于建立足够计算的系统,以至于我们可以预见他们要做的事情。

正如我上面所讨论的,处理数字并不是利用计算可约性的唯一方法,但它是最熟悉的方法,并且它的背后有大量的历史经验。

但是,我们是否期望计算可约性将成为科学和工程的一个持续特征呢?如果我们想充分利用计算,就不可避免地要引入计算不可约性。这是一个新型科学,它是新型工程.在这两种情况下,我们可以预期,数字的作用至少会大大减弱。

如果我们回顾人类历史,数字扮演了一个在人类社会的组织中扮演着非常重要的角色.它们被用来保存记录、指定商业中的价值、定义资源应该如何分配、确定应该如何进行治理,以及无数其他事情。

但这是必然的吗?或者仅仅是数字提供了一种方便的方式来设置事物,以便我们人类能够理解发生了什么?假设我们想要实现一个高效的运输系统来运送人们。传统的“基于数字”的方式是让火车按照特定的“数字”时间运行(“每15分钟”,或者其他)。

从某种意义上说,这是一个简单的“计算上可简化”的解决方案,例如我们可以很容易理解更好的解决方案至少如果我们能够利用复杂的计算方法的话。考虑到谁想去哪里的完整模式,我们可以派遣特定的车辆,以任何需要的复杂安排,以最佳方式将人们送到他们的目的地。它不会像火车一样,有固定的时间。相反,它会看起来更复杂,而且在计算上不可约。用数字来描述并不容易。

我认为这是一个相当普遍的现象:数字提供了一个很好的“计算简化”的方法来建立一些东西。但也有其他可能更有效的方法,更认真地利用计算,涉及计算的不可约性,但不依赖于数字。

除非我们到处都有复杂的计算,否则这些计算方法都是不可能的。即使在今天,我们也只是处于广泛部署所需的复杂计算水平的早期阶段。但另一个例子是,考虑经济系统。

数字最早也是历史上最强大的用法之一是用来描述货币数量和商品价格。但是,“数字价格”是建立一个经济体系的唯一可能吗?我们已经有很多动态定价的例子,其中没有“标价”,而是ai或机器人有效地实时出价,以确定将发生什么交易。

归根结底,一个经济体系是建立在一个庞大的交易网络基础上的。一个人想要一块饼干。买电影的人想租一部电影。与上面的运输例子有点类似,有了足够的计算,我们可以想象这样一种情况:在网络的每个节点上,机器人都在动态安排交易,并最终根据人们表达的特定目标或偏好决定什么可以发生,什么不能发生。这种设置有点像我们的基础物理模型——物理学中的因果图现在有点像供应链。

就像在物理学中一样,没有必要让数字处于最低水平。但是,如果我们想“以人类的方式对系统进行取样”,我们最终将以集体的方式来描述它,并可能以一种新出现的价格概念来结束,有点像物理学中出现的引力场概念。

所以换句话说,如果只有机器人在运行我们的经济系统,它们将“只是做计算”,而不需要任何特别的数字。但如果我们试图理解发生了什么,数字就会出现。

我想,人类社会组织中数字出现的其他例子也是如此。如果事情必须由人类实现和理解,那就别无选择,只能利用计算的可约性,这是最常见的通过数字来实现的。但当事情由人工智能或机器人来完成时,就不需要计算可约性了。

还会有涉及数字的“人类层面的描述”吗?毫无疑问,对于正在发生的事情,至少会有一些“自然科学般的”描述。但是,也许用计算的可约性来表述它们是最方便的,这种可约性使用的不是数字,而是未来人类将学习的概念。或者,数字将成为如此方便的“实现层”,以至于它们最终将被用于所有人类级别的描述。

但在基本层面上,我的猜测是,最终数字在人类社会组织中的重要性将会下降,让位于更详细的基于计算的决策。也许在最后,数字看起来会有点像我们今天在中世纪使用的逻辑:一个决定事物的框架,远不如我们现在拥有的完整和强大。

数学是不可避免的数字吗?

无论他们在科学,技术和社会中的作用,数字似乎从根本上的一个地方都是数学。但这真的是必要的,还是它是某种方式的特定历史或呈现人类数学的艺术品?

一个普遍的观点是,在最基本的层面上,数学应该被认为是对某些抽象的基本公理的结果的探索。但是这些公理应该是什么呢?历史上的使用了相当小的集.第一个问题是这些是否暗示或明确地导致了数字的出现。

普通逻辑的公理(通常在数学的所有领域都是这样假设的)没有支持通常数字概念的必要条件。抽象代数领域(如群论)的公理也是如此,基本的欧几里得几何(至少对整数而言)也是如此。但是,皮亚诺算术公理专门设置为支持整数。

但这里有一个微妙之处。什么皮亚诺公理实际有效地做是抽象的构造定义一定的制约。普通整数是一个“解决方案”的约束。但哥德尔定理也有无数个其他解:非标准“数字”它们有着奇怪的性质,恰好也遵循着相同的总体公理。

因此,在某种意义上,基于皮亚诺公理的数学可以被解释为“关于”普通的数字——但它也可以被解释为关于其他奇异的东西。这和集合理论的标准公理几乎是一样的:它们产生的数学可以被解释为覆盖普通的数字,但也可以被解释为覆盖其他东西。

但如果我们忽略人类数学的历史发展,而只是开始,会发生什么呢“随机”选取公理系统?很可能他们不会有任何立即可识别的解释,但我们仍然可以继续下去,建立一个完整的网络定理这些公理系统最终会导致可以解释为数字的结构吗?

这又是一个有点棘手的问题。的计算的对等原则提出具有非平凡行为的公理系统通常具有计算通用性。这意味着(至少在某种元数学意义上)可以建立一个任何其他公理系统的编码在他们内。

因此,特别是它应该能够重现支持数字所需的内容。(同样,这里有一些微妙之处与公理模式有关,以及它们在支持归纳概念方面的用途,归纳概念似乎是数字概念的核心。)但如果我们只看一看来自特定公理系统的原始定理,比如由自动定理证明系统-很难分辨什么可以被解释为“与数字相关”。

但是如果我们把自己限制在已经证明了人类数学结果——其中有几百万?最近有一些努力至少要使数万个这样的程序正规化,并说明如何从特定的公理形式上导出它们。

但现在我们可以询问这些结果的依赖项是什么。他们中有多少需要“通过数字的想法”?我们可以通过DO做到“实证元数学“在特定的数学形式化系统上(此处Metamath):

& # 10005

可扩展结构={“df struct”、“df ndx”、“df slot”、“df base”、“df base”、“df set”、“df-ress”、“brstruct”、“issstruct2”、“issstruct”、“structcnvcnv”、“structfun”、“structfn”、“slotfn”、“strfvnd”、“wunndx”、“strfvss”、“wunstr”、“ndxarg”、“ndxid”、“ndxid”、“strndxid”、“reldmsets”、“setvalg”、“setsval”、“setsval”、“setsvald”、“fvid”、“fsets”,“wunsets”、“setres”、“setres”、“setabs”、“setscom”、“setscom”、“strfvd”、“strfv2”、“strfv”、“strfv3”、“strssd”、“strssd”、“strsd”、“str0”、“str0”、“base0”、“strfvi”、“setid”、“setsid”、“setsnid”、“setsnid”、“sbcie2s”、“sbcie3s”、“baseval”、“baseid”、“elbasfv”、“elbasov”、“elbasov”、“strov2rcl”、“basendx”、“dmress”、“val”、“resid2”、“resid2”、”ressval2、ressbas、ressbas2、RESSBASS、RESSBASS、resslem、resslem、ress0、ress0、ressid、ressinbas、ressval3d、RESRESRESS、RESRESRESS、RESRESRESRESSS、RESSAB、wunress、df rest、df rest rest、df topn、topnfn、restval、elrest、elrest、elrest、ELRESID2、restsspw、FIRESEST、restid、restid、topnval、topnid、topnpropd、df-0g、df-gsum、df-gsum、df-gsum、df-topgen、df-pt、df-prds、df-prds、reldmprds、reldmprds、df-pws、prdsbasex、imasvalstr、imasvalstr、PRDSVALTR、PRDSVALTR、PRDSVALEM、PRDSVALEM、prdsval、prdsval、prdssca、prdssca、prdssca、prdssca、prdsbas、prdsbas、prdsbas、prdsbas、prdsbas、”prdsplusg、prdsplusg、prdsmulr、prdsmulr、prdsmulr、prdsvsca、prdsvsca、prdsvsca、prdsip、prdsle、prdsle、prdsle、prdsle、prdsds、prdsds、PRDSSET、prdshom、prdsco、prdsco、prdsbas2、prdsbasmpt、prdsbasfn、PRDSBASPRDSPRDSPRJ、prdsplusgval、PRDSVAL、PRDSPRDSPRDSVAL、PRDSPRDSPRDSFLVAL“,”PRDSEVAL“,”PRDSVAL“,”prdsvscaval“,”prdsbas3“,”prdsbasmpt2“,”prdsbascl“,”prdsdsval2“,”PRDSVAL3“,”pwsval“,”pwsbas“,”pwselbasb“,”pwselbas“,”PWSPLUGVAL“,”PWSMULVAL“,”pwsle“,”pwsleval“,”PWSVSCCA“,”PWSSCAVAL“,”pwssca“,”pwsdiagel“,”pwssnf1o“,”df ordt“,”df xrs“,”qtop“,”df-”df-”df-imas“,”df-qus“,“imasval”、“imasval”、“imasval”、“imasbas”、“imasbas”、“imasds”、“imasds”、“imasds”、“imasdsfn”、“imasdsval”、“imasdsval2”、“imasplusg”、“imasplusg”、“imasplusg”、“imasmulr”、“imasmulr”、“imassca”、“imasvsca”、“imasvsca”、“imasip”、“imastset”、“imasle”、“f1ocpbllem”、“f1ocpbl”、“f1ovscpbl”、“f1ollecpbl”、“imasfnlem”、“imasaddvallem”、”Imasadflem、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadval、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imasadfn、Imxpsc、xpscg、xpscfn、xpsc0、xpsc1、xpscfv、xpsfrnel、xpsfeq、xpsfrnel2、xpscf、xpsfval、xpsff1o、xpsfrn、xpsfrn2、xpsff1o2、xpsval、xpslem、xpsbas、xpsadd、xpsmul、xpssca、xpsvsca、xpsless、xpsle、df plusg、df-SG、df-mulr、df-mulr、df-FALL、df-vsca、df-vsca、df-ip、df-ip“df-tset”、“df-tset”、“df-ple”、“df-ple”、“df-ocomp”、“df-ds”、“df-unif”、“df-hom”、“df-cco”、“stremor0”、“stremor1”、“stremor1”、“stremor2”、“stremor3”、“stremor3”、“strle1”、“strle2”、“strle3”、“plusgndx”、“plusgid”、“1strstrstrstrstrstrstrstrstrstr”、“1strwunndx”、“1strwun”、“2stremor2”、“2strbas”、“2stremor3”、“grpstr”、“grpstr”、“grpstrpstr”,“grpbase”、“grpplusg”、“grpplusg”、“ressplusg”、“grpbasex”、“grpplusgx”、“MURNDX”、“mulrid”、“rngstr”、“rngbase”、“rngplusg”、“rngplusg”、“rngplusg”、“rngmulr”、“rngmulr”、“rngmulr”、“饥饿NDX”、“饥饿ID”、“ressmulr”、“RESSHRIGHT”、“srngfn”、“srngbase”、“srngbase”、“srngplusg”、“srngmulr”、“srngmulr”、“srnginvl”、“srnginvl”、“scandx”、“vscaid”、“vscaid”、“vscaid”、“VSODSTR”、”lmodbase、lmodbase、lmodplusg、lmodplusg、lmodsca、lmodvsca、lmodvsca、ipndx、ipid、ipssr、ipssr、ipssr、ipssr、ipssr、ipssr、ipsbase、ipsbase、ipssbase、ipsaddg、ipsaddg、ipsmulr、ipsmulr、ipssca、ipspip、ipsip、ipsip、ipspisp、ressca、resvsca、pressvca、pressip、pressip、phlstr、phlstr“phlbase、phlbase、phlplusg、phlplusg、phlsca、phlsca、phlvsca、phlvsca、phlip、phlip、tsetndx、tsetid、topgrpstr、topgrpbas、topgrpplusg、topgrptset、RESTSET、plendx、pleid、OTPSTR、otpsbas、OTPSSET、otpsle、ressle、ocndx、ocid、dsndx、dsid、unifid、odrngstr、odrngbas、odrngplusg、odrngmulr、odrngtset“,”odrngle“,”odrngds“,”ressds“,”homndx“,”homid“,”ccondx“,”ccoid“,”resshom“,”ressco“,”slotsbhcdif“;metamathGraph=EdgeDelete[CloudGet[”https://wolfr.am/PLbmdhRv“],选择[EdgeList[CloudGet[”https://wolfr.am/PLbmdhRv“]],MemberQ[extensibleStructures,#[[2]]]&];metamathAssoc=CloudGet[”https://wolfr.am/PLborw8R"]/. {“TG(TARSKI-GROTHENDIECK)集合论”->“算术与集合论”,“ZFC(ZERMELO-FRAENKEL WITH CHOICE)集合论”->“算术与集合论”,“ZF(ZERMELO-FRAENKEL)集合论”Y"-> "ARITHMETIC & SET THEORY"}; 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我们看到的是,至少在人类的数学形式化过程中,数字似乎确实起着非常重要的作用。当然,这并没有告诉我们原则上的结果,比如拓扑学,是否可以证明为“没有数字”;它只是告诉我们,在这个特殊的形式化过程中,数字是用来做这件事的。

我们也不知道数字是否只是“便于证明”,或者是否实际上选择的实际数学结果是基于数字的“可访问性”。

对于任何一个(普遍的)公理系统,都有无数的定理可以从中证明。但问题是:这些定理的,这将被认为是“有趣”?人们应该期待那些可以用概念来解释的定理——比如数字——这些概念在历史上已经在人类数学中广为人知。

但这仅仅是一个数学史上的意外事件,还是还有更多?

传统的关于数学基础的观点涉及到想象某些特定的公理系统被挑选出来,然后数学是某种对这个公理系统含义的探索。这就好比说:为一个潜在的宇宙模型选择一个特定的规则,然后看看它会有什么结果。

但我们意识到,至少在研究宇宙的时候,我们不需要从根本上选择一个特定的规则:相反,我们可以构建一个乡村多路系统实际上,所有可能的规则都是同时使用的。我们可以想象在数学上做类似的事情。而不是选择一个特定的底层公理系统,只考虑由同时计算出所有可能公理系统的结果

由此产生的物体似乎与诸如在更高类别理论中产生的无限基团.但这里重要的一点是,在某种意义上,这个物体是所有数学形式中所有可能结果的代表。但现在的问题是:我们人类应该如何取样?如果我们在计算上有限制,我们基本上必须选择一个特定的“参考系”。

似乎有一个这和物理学很相似. 就物理学而言,我们意识的基本特征似乎受到了束缚我们在某些参考系中,不可避免地将整个多路规则系统“解析”为遵循已知的物理定律。

因此,也许类似的东西正在数学中。也许在这里太多了,就像意识的基本特征限制了我们对限制统治物体的抽样。但那么物理法律的类似物是什么?据推测,他们将是某种尚未发现的一般普通的“散装元素定律”。也许它们对应于“当我们样本的数学”的整体结构原则(可想到与类别理论有关)。或者可能 - 如物理空间和时间的情况 - 他们实际上不可避免地导致类似于数字的东西。

换句话说,也许——就像在物理学中,数字的出现可以被认为反映了我们作为观察者的特征——这也可能发生在数学中。也许即使是最基本的人类特征,我们也会不可避免地认为数字是数学的核心。

但是我们的外星人在他们的星际飞船上呢?在物理学中,我们认识到我们对宇宙的看法和我们认为遵循的物理定律并不是唯一可能的。18l18luck新利 其他类型的观察家可能有。数学也是如此。我们有一个特定的观点,它可能最终基于我们意识的特征,但它不是唯一可能的。可能还有其他的描述同样的限制规则对象,但与我们习惯的完全不一致。

不用说,当我们谈论“外星人乘坐星际飞船抵达”时,我们已经假设他们的“宇宙观”(或者,实际上,他们在规则空间中的位置)是正确的离我们自己不太太远.也许这也意味着“数学观点”的某种一致性,甚至可能使数字成为必然。

但在抽象的层面上,我认为我们可以预期,有些“数学观点”与我们自己的“数学观点”是不连贯的,虽然在某种意义上它们“仍然是数学”,但它们没有任何我们熟悉的典型数学观点的特征,比如数字。

那么,数字是不可避免的吗?

数字是在历史记录的人类文明的一部分。但是在这里,我们已经询问了为什么如此为什么的基本问题。我们所看到的是,在宇宙中似乎没有任何东西 - 例如,关于数学 - 不可避免地导致数字。相反,数字似乎通过我们的人类努力来“解析”发生​​什么。

但这不仅仅是数字在人类历史上的某个时刻被发明出来,然后被使用。我们身上有一些更根本、更重要的东西,使得数字对我们来说是不可避免的。

我们对复杂计算的一般能力——计算等价原则意味着许多系统都具有这种能力——并不是什么。事实上,当有大量复杂的计算和计算的不可约性进行时,数字并不是一个特别有用的描述。

相反,只有当有计算可约性时,数字才会出现。关键是我们身上有一些基本的东西引导我们找出计算的可约性。特别是,我们所认为的意识似乎从根本上与这样一个事实有关,即我们以一种利用计算可约性的特殊方式来采样事物。

并非所有的计算可简化性都需要与数字相关,但一些例子确实如此。正是这些似乎导致了数字在我们的宇宙经验中的广泛出现。

事情会有所不同吗?如果我们是不同的,肯定是。例如,没有理由认为分布式人工智能系统本质上必须使用数字之类的东西。是的,在我们试图理解或解释它时,我们可能会使用数字。但系统本身并没有“知道”数字。

实际上,通过这样的操作,系统将能够更丰富地利用在可能程序的计算空间中可用的计算资源。数字已被广泛应用于科学、工程和社会组织的许多方面。但随着计算变得越来越复杂,我认为我们可以预期,数字的内在用途将逐渐减少。

但它仍然会是真实的,只要我们保持我们的经验核心方面我们认为是有意识的观察者号的一些版本将在年底是不可避免的我们。我们可以期望从数字来概括,并且,例如,计算还原的样品其他表示。但就目前而言,数字似乎有着千丝万缕的连接到我们存在的核心问题。


感谢众多Numerosity这篇文章的“写作提示”,并向乔纳森·戈拉德(Jonathan Gorard)提供了一些非常有帮助的输入。

发布在:语言与沟通数学哲学物理

10条评论

  1. 数字是真实的、有用的、方便的等等,只要我们想要或需要它们。它们对我们能计算的东西很管用。我们知道没有合适的替代品。所以,让我们继续使用它们,好吗?我错过了什么吗?

  2. 读了这篇文章,我又回到了第一次看电影《抵达》(或者这真的是第二次还是第三次?)。

    游客和大多数人之间的交流似乎由于时间上的不同参照系而变得复杂。参观者用象形文字表达非常复杂的思想。他们似乎也像冯内古特的《五号屠宰场》中的特拉法马多利安人一样“及时脱钩”。

    通常情况下,我不喜欢与时空有关的科幻小说,因为它更像是物理的“便利样本”,让故事能够顺利展开。“到达”是不同的。这篇文章让我想再去看一遍。

  3. 像往常一样棒,斯蒂芬!一直期待着这些帖子。这里有一个想法:据说,乘宇宙飞船来的外星人会有我们无法理解的数字和物理现象——但这难道不是我们至今没有发现任何外星人的原因吗?我们看不同的东西,因此无法发现彼此?我很想听听你的想法!

    Peter Harket.
  4. 这是否意味着我们的“年龄”真的就是我们对宇宙结构采样的次数?时间,我们的主体体验,是我们在空间中“移动”的能力的突现属性吗?这是否就是为什么一个在火箭上以极高速度飞行的观察者,首先离开地球,然后返回,在技术上比留在地球上的观察者“老”的原因?火箭上的观察者接受了更多的采样,对吗?

    此外,我们的大脑能否通过象征性地代表离散的事物来减少现实中的小块区域,这能解释我们远古祖先的初生意识吗?是不是因为我们越来越擅长用象征性表征来还原现实,我们的意识才会扩张?博尔赫斯(Jorge Luis Borges)的《小径分岔的花园》(The Garden of fork Paths)精彩地阐述了这一观点。

    谢谢你的又一个有趣的话题!

    大卫·戈德温
  5. 数字似乎无法描述意识体验。比如,红色的红色的数学公式是什么?还是痛苦的体验?你如何从物理学所描述的纯数量宇宙中获得经验的纯质量?这似乎是最明显的分类错误。

    那么意识经验的存在意味着什么呢?现实是否有(主观的)一面根本无法用科学解释?根据“物质”的标准定义,意识不是物质的吗?

    瑞恩•克拉克
  6. 令人着迷的是,数字可能实际上阻碍我们进入人类的黄金时代。

    迈克尔•米勒
  7. 当我看到有人不使用数字就进入LEO时,我会相信不使用数字的外星人进入太空的可能性。

    米歇尔·弗里德曼
  8. 因此,换句话说,数学是一种语言,就像任何其他人类语言一样,它试图通过创建对象的类别并给它们命名来发现混乱世界的秩序并理解混乱世界。因此,同样,就像任何其他人类语言一样,数学也有其自身的怪癖和局限性,这些本质上是这些类别是以任意的方式创建的。尽管如此,数学与所有其他语言的不同之处在于它缺少语音成分,这使它感觉“通用”,因为它在技术上允许说不同语言的人在讨论数学概念时相对容易地进行交流。事实上,数学“普遍性”是如此深植于我们的数学概念中,以至于在某种程度上,我们开始将它视为客观描述和理解我们周围世界的一种手段。因此,如果我们想研究一种新的计算方法,我们需要看语言理论而不是数论。我们能想象一种没有单词和/或数字的语言吗?s将如何理解一种语言能帮助我们理解它所描述的东西吗?一种无语语言能帮助我们理解其他语言吗?最重要的是,我们能用一种无语语言做什么?

    诺姆·狄克特
  9. 当我很久以前的本科思想偶尔提醒我,并不是所有的事情都是确定的,我就会怀疑这个数字1,如果它能添加到另一个数字-是否有另一个?如果没有另一个,那就没有。是只有部分没有整体,还是只有整体没有部分?我可以想象,没有我来评判,一切都是不可思议的。苹果肯定是不一样的。电子呢?也许,也许他们真的都是一样的,所以一个,所以把他们算作过去的时间。
    很棒的文章——对于一个外行来说,很难找到关于这个话题的讨论。

    里达洪
  10. 如果您有兴趣,我将在一本书中部分处理了这一主题,以涉及破坏性物理学。我的结果不是你在本文中呈现的结果。实际上,我得出结论,性质确实计数,并且这个数字甚至超现实数字都是固有的。我将在今年夏天发布一本关于密码学的书,其中我将使用这些结果在数学意义上展示奥卡尔的存在,与自然的计数力量的深度联系。

    让·弗朗索瓦·吉内斯特
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