乔治·布尔:200年景观

今天是乔治·布尔诞辰200周年。在我们的现代数字世界,我们总是听到“布尔变量”-1或0,真或假。有人可能会想,“多么微不足道的想法!”为什么非要有人发明它呢?”但通常情况下,还有一个更深层次的故事——布尔变量实际上只是乔治·布尔的一个重要的智力进步的副作用。

当乔治布尔出现时,逻辑学和数学已经分别发展了2000多年。乔治·布尔的伟大成就是通过布尔代数的概念,展示了如何将它们结合在一起。在此过程中,他有效地创造了数学逻辑领域,并为一系列的发展奠定了基础,这些发展导致了普遍计算的出现。

当乔治·布尔发明布尔代数时,他的基本目标是找到一组数学公理,可以重现逻辑的经典结果。他的出发点是普通代数,比如变量xy,以及加法和乘法等运算。

起初,普通代数看起来很像逻辑。毕竟,p和q是一样的q和p,就像p××p.但如果你仔细观察,就会发现两者之间存在差异。就像p×pp2,但p, p只是p.有些令人困惑的是,布尔使用了标准代数的符号,但添加了特殊规则,创建了一个公理系统,然后他证明,这个公理系统可以重现所有常见的逻辑结果。

布尔在描述他的公理体系时相当随意。但在几十年里,它被更精确地形式化了,在接下来的一个世纪里,人们发现了一些越来越简单的形式。然后,15年前,我结束了完成这150年的过程主要是作为一种副作用其他科学我是做证明地很简单逻辑的可能公理系统,它碰巧只包含一个公理。

布尔逻辑公理系统,简化为一个单一的公理

这篇文章也在创意创造者:对一些名人的生活和想法的个人观点»

我认为这个公理非常简洁,而观察它在可能公理空间中的位置对数学和逻辑的基础有有趣的暗示。但在乔治布尔的背景下,人们可以说,这是他伟大思想的最小版本:一个人可以有一个数学公理系统,通过简单的代数类变换,再现所有的逻辑结果。

乔治布尔是谁?

但让我们来谈谈乔治·布尔,这个人。他是谁,他是怎么做到的?

乔治·布尔(George Boole)于1815年(不用说)出生在英国,在伦敦以北120英里的一个相当小的城镇林肯(Lincoln)。他的父亲对科学和数学非常感兴趣,并经营着一家小型鞋厂。乔治·布尔可以说是自学成才的天才,14岁时,他在当地报纸上发表了一首希腊诗的翻译,第一次在当地出名。16岁时,他被聘为当地一所学校的教师,那时,他已经开始阅读微积分书籍,显然,他已经开始形成他后来关于数学和逻辑关系的想法。

19岁时,乔治·布尔开始创业:他创办了自己的小学。这似乎相当成功,事实上布尔继续经营学校(当时被称为“指挥”),直到30多岁。他与一些在剑桥等地受过教育的人有联系,特别是通过当地的力学研究所(有点像现代社区学院)。但大多数时候,他似乎只是靠自己读书来学习。

他认真对待他作为一个教师的职业,发展各种惊人的现代理论的重要性的理解和发现(而不是死记硬背),和实实在在的例子在数学领域的价值(他肯定会很兴奋,现在可能与电脑)。

23岁时,布尔开始发表数学论文。他早期的论文都是关于当时的热门话题,比如变分学。也许是他对教育和阐述的兴趣促使他尝试创造不同的形式主义,但很快他就成为了“运算学”的先驱:通过操作运算符而不是显式代数表达式来做微积分。

不久之后,他与当时的英国顶尖数学家进行了交流,并得到了积极的反馈。他曾考虑去剑桥,成为一名“大学人”,但被告知必须从标准的本科课程开始,并且停止自己的研究后,他被推迟了。

逻辑的数学分析

逻辑学作为一门研究领域起源于古代,尤其是亚里士多德的著作。在整个中世纪及以后,它一直是教育的主要内容,通过识别特定的逻辑论证模式(“三段论”),如“芭芭拉”和“cElArEnt”,以适应死记硬背的学习实践。在很多方面,一千多年来,逻辑并没有发生太大的变化,尽管到了19世纪,人们努力使它变得更加流线型和“正式”。但问题是如何做到。特别是,这应该通过哲学或数学的方法来实现吗?

1847年初,布尔的朋友奥古斯都•德•摩根因为这个问题卷入了一场学术上的不愉快。这让布尔很快开始思考如何用数学来表述逻辑。结果就是他的第一本书,逻辑的数学分析,于同年出版:

布尔的《逻辑的数学分析》

这本书并不长——只有86页。但它解释了布尔用代数形式表示逻辑的想法。人们可以用变量来进行代数运算而不仅仅是用普通的数字汉密尔顿1843年他发明了四元数代数,布尔也受到了影响。(伽罗瓦他在1832年也做过类似的工作,研究群体和有限域。)

布尔诞生150年前,戈特弗里德莱布尼兹也曾想过用代数来表示逻辑。但他一直没弄清楚是怎么回事。直到1847年,布尔终于成功地做到了这一点。

现在看看布尔的书,其中很多内容很容易理解。例如,他在这里展示了他的代数公式是如何在逻辑上重现一些标准结果的:

布尔代数公式,再现逻辑中的标准结果

从表面上看,这一切似乎相当简单。“和”由变量相乘表示xy, " not " by 1 -x,和“(专有的)或”x+y2xy.还有一些额外的限制x2x.但当人们试图深入挖掘时,事情就变得相当模糊了。仅仅是什么xy应该是?今天我们称这些布尔变量,并想象它们有离散值1或0,代表真或假。但布尔似乎从来不想讨论任何明确的、离散的或组合的东西。他似乎一直在讨论代数表达式和方程,甚至使用级数展开来有效地枚举逻辑变量值的可能组合。

思想的法则

当布尔写他的第一本书时,他仍然是一名教师,并在经营一所学校。但他同时也是一位著名的数学家。1849年,科克女王学院(现在的科克大学)在爱尔兰成立,布尔被聘为该学院的第一位数学教授。一到科克,布尔就开始写他最著名的书,对思想规律的考察

布尔的“思想规律考察”

他在序言中写道:“本文旨在研究进行推理的思维活动的基本规律;用微积分的符号化语言来表达这些思想,并在此基础上建立逻辑学,建立逻辑学的方法;……”

布尔似乎将自己视为试图为“智力科学”创造一种微积分,类似于牛顿为物理科学创造的微积分。但是,当牛顿能够依靠空间和时间等概念来构建他的微积分结构时,布尔必须建立在思维如何运作的模型的基础上,这对他来说无疑是逻辑。

第一部分法律的思想基本上是对布尔早期逻辑书的重述,但增加了一些例子——比如有一章涵盖了关于上帝存在和特征的逻辑证明。这本书的第二部分在某种意义上更传统。因为他没有将代数变量解释为与逻辑相关的,而是将它们解释为与概率相对应的传统数字——这样做表明,组合事件概率的法则与组合逻辑语句的法则具有相同的结构。

在很大程度上法律的思想读起来就像一本数学著作,有着抽象的定义和形式化的结论。但在最后一章,布尔试图将他所做的与关于大脑运作的实证问题联系起来。他讨论了自由意志如何能够与明确的思想规律相兼容。他谈到不精确的人类经历如何导致精确的概念。他讨论了是否存在一种超越数学定律所能解释的、人类能够识别的真理。他还谈到了对人类思维的理解应该如何影响教育。

布尔的余生

出版后法律的思想1864年,49岁的乔治·布尔死于肺炎。他继续广泛发表数学方面的文章,但再也没有发表逻辑学方面的文章,尽管他可能打算这样做。

在他的一生中,布尔在传统数学方面的工作比在逻辑方面的工作更受认可。他写了两本教科书,一本是1859年的微分方程,另一本是1860年的差分方程。两者都是干净优雅的展示。有趣的是,尽管布尔的理论有无数的现代替代品微分方程在差分方程方面,我们做的很少实现它们Mathematica在20世纪90年代末,布尔1860年的书仍然是一个重要的参考,尤其值得注意的是它的线性差分算子分解的好例子。

布尔是什么样的?

布尔是个什么样的人?关于这一点有很多信息,尤其是从他妻子的著作、信件和他姐姐在他死后收集的回忆录中。据我们所知,布尔是一个有条理、勤奋的人,对细节非常注意。他工作很努力,经常工作到深夜,他可能是如此专注于他的工作,他变得非常心不在焉。不管他在照片上的样子如何,他本人似乎相当和蔼可亲。作为一名教师,他很受欢迎,是一个有才华的讲师,尽管他的黑板上的字经常是难以辨认的。他是一个亲切而广泛的通讯员,多次访问不同的人和地方。他花了很多年管理人员,先是在学校,然后是在科克的大学。他有强烈的正义感,虽然他不喜欢争论,但他偶尔也会卷入其中,而且并不羞于维持自己的地位。

尽管布尔取得了成功,但他似乎一直认为自己是一名自学成才的教师,而不是学术精英。也许这有助于他承担智力上的风险。是否玩玩弄微积分,微分运营商或寻找弯曲代数定律,这样他们可以适用于逻辑,布尔似乎一直采取的态度只是前进,看到他能去的地方,相信自己的感觉是正确的和真实的。

布尔一生中大部分时间都是单身,但最终在40岁时结婚了。他的妻子玛丽·埃佛勒斯·布尔比他小17岁,比他多活了52岁,于1916年去世。她自己也有一个有趣的故事,在她后来的生活中写了很多书,书名是代数的哲学和乐趣爱教的逻辑儿童对科学的准备心灵科学给世界的信息.乔治·布尔和玛丽·布尔有5个女儿,她们和她们自己的孩子一样,都有广泛的职业和成就,有些是数学方面的。

遗产

具有讽刺意味的是,致力于代数、微积分和连续数学方法的乔治·布尔,竟然成了离散变量的象征。但说句公道话,这花了不少时间。在他去世后的几十年里,布尔在逻辑方面的工作主要影响是席卷数学的抽象和形式化浪潮——包括像这样的人弗雷格皮亚诺希尔伯特怀特海德罗素并最终哥德尔图灵.直到1937年,由于克劳德·香农在交换网络中,布尔代数开始用于实际目的。

今天有很多关于布尔运算的内容MathematicaWolfram语言,事实上,乔治布尔是拥有最多(15)个的人不同的功能在以它们命名的系统中。

但是,让布尔的名字如此广为人知的并不是布尔代数,而是布尔变量这个更简单的概念,它出现在每一种计算机语言中,这导致了自20世纪50年代以来,“布尔”这个词在出版物中不断被提及:新利18官网客服

自20世纪50年代以来,“布尔”一词在越来越多的出版物中出现新利18官网客服

这是不可避免的吗?在某种意义上,我怀疑它是。因为当我们回顾历史时,足够简单的形式思想有一个显著的趋势,最终会被广泛使用,即使它们只是从相当复杂的起源缓慢地出现。最常见的情况是,在某个时刻,这些想法变得与技术相关,然后很快就从好奇变成了主流。

我的工作在一种新的科学让我想到了所有可能的“简单形式思想”的列举。有些已经融入了科技,但还有很多还没有。但是,乔治·布尔和布尔变量的故事提供了一个有趣的例子,说明在几个世纪的时间里会发生什么,以及最初看似晦涩难懂的东西如何最终变得无处不在。

发布:18luck 数学哲学

6个评论

  1. boolean = WolframAlpha[" George Boole的200岁生日",{{"Result", 1}, "明文"}];
    mondaysDate = " 2015年11月2日星期一″;
    booleDay = = mondaysDate

    克里斯Grattoni
  2. 哲学家和数学家伯特兰·罗素曾将《思想规律的研究》描述为“纯数学的发现”。

  3. / /布尔谱

    函数logicn_arr (op, arr) {
    Var I = 0;
    Var Max = (1 << (1 <=0;x -) {
    If (arr[x] == Max) {
    I |= (1 << ((arr.length-1)-x)));
    } else if(arr[x] == 0) {
    / /什么都不做
    其他}{
    / /下一个

    c = true;


    If (!c) return (op % ((1 <>> 0)))>> 0) - 1) ?马克斯:0;
    返回null;

    弗拉维奥
  4. 玛丽·布尔,乔治·布尔的妻子,声称通过她的叔叔乔治·埃佛勒斯,印度思想和印度逻辑受到了深远的影响,特别是对乔治·布尔,以及奥古斯都·德·摩根和查尔斯·巴贝奇:

    想想巴贝奇、德·摩根和乔治·布尔这三个人强烈的印度教化对1830-65年的数学氛围会产生什么影响。它在矢量分析和数学的产生中有什么作用,而现在的物理科学研究是通过这些来进行的?(参见布尔,玛丽·埃佛勒斯印度思想和19世纪的西方科学,布尔,玛丽·埃佛勒斯文集E. M. Cobham和E. S. Dummer,伦敦,Daniel 1931页947 - 967)

    Navya Nyaya,印度逻辑学派(13世纪),早在几个世纪之前就有了逻辑的代数公式。

    Subhash谷湖
  5. 有趣的是1999年的公式

    ((p Nand q) Nand r) Nand (p Nand r)) = r。

    我想知道为什么这个公式在1999年之前不为人知。

    azzteke
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