拜访戈特弗里德·莱布尼茨

多年来我一直对戈特弗里德·莱布尼茨很好奇,尤其是因为他似乎想要建造类似MathematicaWolfram | Alpha,或许一门新的科学同样,尽管早了三个世纪。所以,当我最近去德国旅行时,我很兴奋能够参观他的档案在汉诺威。

我翻看着他那泛黄的(但依然结实得足以让我摸到的)笔记页,感觉到了某种联系——我试着想象他写这些笔记时在想什么,并试着把我在其中看到的东西与我们三个多世纪后现在所知道的联系起来:

莱布尼茨的笔记

这篇文章也在创意创造者:对一些名人的生活和想法的个人观点»

有些事情,特别是数学,是永恒的。就像莱布尼茨在写一个无穷级数√2(文本为拉丁文):

Leibniz为Sqrt写下无限级数的示例[2]

莱布尼茨试图计算一个连分数,尽管他得到了算术错了,尽管他把它都写出来了(Π是他早期版本的等号):

莱布尼茨计算连分数

或者这里有一个微积分的小总结,几乎可以在现代教科书中找到:

莱布尼茨的微积分总结

但是其他的一切是关于什么的呢?他的工作和思想的更大的故事是什么?

我一直觉得莱布尼茨是个令人费解的人物。他做了许多看似不相干的事情——哲学、数学、神学、法律、物理、历史等等。他用17世纪的术语来描述他的所作所为。

但随着我对莱布尼茨的了解越来越多,对他本人的感觉也越来越好,我意识到,在他所做的事情背后,隐藏着一个核心的智力方向,这个方向与我所遵循的现代计算方向非常接近。

戈特弗里德·莱布尼茨于1646年出生在莱比锡,即现在的德国(伽利略去世四年后,牛顿出生四年后)。他的父亲是一位哲学教授;他母亲的家族从事图书业。莱布尼茨的父亲去世时,莱布尼茨才6岁。经过两年的深思熟虑,莱布尼茨被允许进入父亲的图书馆,开始阅读各种各样的藏书。他15岁时进入当地大学学习哲学和法律,20岁时毕业。

甚至在十几岁的时候,莱布尼茨似乎就对知识的系统化和正规化感兴趣。很长一段时间以来都有模糊的想法,例如在半神秘主义中Ars麦格纳属于雷蒙Llull从13世纪开始,人们可能能够建立某种宇宙系统,其中所有知识都可以从合适的(笛卡尔称之为“人类思维字母表”)符号组合中获得在他的哲学毕业论文中,莱布尼茨试图追求这一理念。他使用一些基本的组合数学来计算可能性。他谈到将理念分解为简单的组成部分,在这些组成部分上“发明逻辑”可以运作。并且,为了更好的衡量,他提出了一个旨在证明上帝存在的论点。

正如莱布尼茨自己在后来说的那样,这篇20岁时写的论文在很多方面都很幼稚。但我认为它开始定义莱布尼茨一生思考各种问题的方式。因此,例如,莱布尼茨关于“令人费解的法律案件”的毕业论文,都是关于如何通过将案件简化为逻辑和组合来解决这些案件。

莱布尼茨走上了成为教授的道路,但他却决定开始自己的生活,为不同的法院和政治统治者担任顾问。他为他们做的一些事情是学术研究,追踪深奥的——但在政治上很重要的——家谱和历史。其中一些是法律规范、图书馆等的组织和系统化。其中一些是实际工程方面的,比如试图找到更好的方法让银矿不进水。其中一些——尤其是早年——为政治操纵提供了“实地”的智力支持。

在1672年的一次活动中,莱布尼茨去了巴黎四年,在此期间,他与许多著名的知识分子进行了交流。在此之前,莱布尼茨的数学知识相当基础。但在巴黎,他有机会学习所有最新的思想和方法。例如,他找到了同意教莱布尼茨数学的克里斯蒂安·惠更斯——在他成功地通过了发现三角形数的倒数和

多年来,莱布尼茨完善了他关于知识的系统化和形式化的思想,设想了一个完整的体系结构,用现代术语来描述知识是如何计算的。他认为第一步是开发特色酒店一种为事物分配符号或符号表征的方法,实际上创造了一个统一的“思想字母表”。然后他想象——这与我们现在对计算的了解产生了惊人的共鸣——从这种统一的表述中,有可能找到“任何领域的理性真理……通过微积分,如算术或代数”。

他以各种雄心勃勃的名字谈论他的想法,比如scientia杰耐尔斯(“一般知识方法”),通用philosophica(“哲学语言”),数学universelle(“通用数学”),characteristica universalis(“通用系统”)演算推理器(“思想微积分”)。他设想最终应用于科学、法律、医学、工程、神学等所有领域。但他很快就在数学领域取得了明显的成功。

对我来说,这在数学史上是非常罕见的符号一直被视为一个核心问题。它发生在19世纪晚期现代数学逻辑的开端,由戈特洛布·弗雷格和朱塞佩·皮亚诺等人的研究。最近,在我努力创作的过程中,也发生了这样的事情Mathematica还有Wolfram语言。但三个世纪前莱布尼茨也是如此。我怀疑莱布尼茨在数学上的成功在很大程度上要归功于他在记谱法上的努力,以及对数学结构和过程的清晰推理。

当我们看莱布尼茨的论文时,看到他的符号和它的发展是很有趣的。很多东西看起来都很现代。虽然有17世纪的迷人的破折号,比如偶尔使用炼金术或行星符号来表示代数变量:

莱布尼茨使用炼金术或行星符号来表示代数变量的例子

等号是Π,而不是=,有点俗套的想法是让它像一种平衡,一边或另一边的长腿表示小于(" < ")或大于(" > "):

莱布尼茨使用圆周率作为等号而不是=的例子

有一些超条来表示术语的分组——这可能比圆括号更好,尽管更难打字和排版:

莱布尼茨用超横线表示术语分组

今天我们确实用过横杆来表示根。但莱布尼茨也希望在积分中使用过横杆。还有相当漂亮的“尾部”,这让我想起了“双重打击”微分d我们发明的用来表示积分的Mathematica

展示了莱布尼茨在积分中对超棒的使用

特别是在解方程的时候,很常见的就是用±,但是这个组合是怎么运作的,比如in一个±b±c.嗯,莱布尼茨似乎也发现了它的困惑,但他发明了一种符号来处理它,我们今天也应该考虑使用它:

Leibniz+符号的示例

我不确定莱布尼茨符号是什么意思。尽管这些overtildes你很好看:

莱布尼茨符号的一个例子

就像这些带点的东西:

莱布尼茨用点表示的一个例子

或者这个有趣的图表形式:

莱布尼茨制作的图解形式

当然,莱布尼茨最著名的符号是他的积分符号(长“s”代表“summa”)和d,这里第一次在页边空白处进行总结,是在1675年11月11日(“1675”中的“5”可能被莱布尼茨改成了“3”):

莱布尼茨最著名的符号第一次总结在页边

我发现有趣的是,尽管莱布尼茨对“计算”运算有各种表示法,但他显然没有为逻辑运算发明类似的表示法。“或者”只是拉丁词韦尔“和”是,等等。当他提出量词的概念(现代的∀和∃)时,他只是用拉丁缩写词U.A.和p.a.来表示它们:

逻辑运算的莱布尼茨符号

我一直觉得这是思想史上一个非同寻常的异常直到1930年代通用计算思想出现。我经常在想,在莱布尼茨的著作中是否隐藏着一种通用计算的早期版本——甚至可能是一个我们现在可以解释为图灵机系统的图表。但随着对莱布尼茨的更多了解,我越来越清楚为什么情况可能并非如此。

我认为,一个重要的原因是,他没有足够认真地对待离散系统。他认为组合学的结果是“不言自明的”,大概是因为他认为这些结果可以通过算术等方法直接验证。他认为只有“几何”,或者说连续的数学,才需要为它发展微积分。在描述曲线性质时,莱布尼茨提出了类似连续函数的概念。但他似乎从未将函数的概念应用到离散数学中——例如,这可能会促使他思考构建函数的通用元素。

莱布尼茨认识到他的微积分的成功,并热衷于为其他事情提出类似的“微积分”。在另一个关于普适计算的“侥幸”中,莱布尼茨提出了用数字编码逻辑属性的想法。他想把事物的每一个可能的属性与一个不同的质数联系起来,然后用其属性的质数乘积来描述事物,然后用算术运算来表示逻辑推理。但他只考虑了静态属性,从来没有想到Gödel编码这样的想法,其中操作也是用数字编码的。

尽管莱布尼茨没有提出普适计算的概念,但他确实理解计算在某种意义上是机械的。事实上,在他很小的时候,他就下定决心要造一个真正的机械计算器来做算术。也许部分原因是他想自己使用它(这总是一个构建一项技术的好理由!)尽管他在代数等方面很有造诣,但他的论文在页边空白处写满了基本的(有时是不正确的)学校水平的算术运算,这些运算现在被保存下来留给后代:

莱布尼茨在页边空白处写出的基础学校水平算术计算示例

在莱布尼茨的时代,有一些零散的机械计算器,当他在巴黎的时候,莱布尼茨无疑看到了布莱斯·帕斯卡在1642年发明的加法计算器。但莱布尼茨决心制造一种“通用”计算器,这是第一次能用一台机器完成所有四种基本算术功能。他想给它一个简单的“用户界面”,例如,一个人可以把一个手柄转向一个方向做乘法,另一个方向做除法。

在莱布尼茨的论文中,有各种各样关于机器工作原理的图表:

莱布尼茨的运算机器工作原理图

莱布尼茨想象他的计算器将会有很大的实用价值——事实上,他似乎希望他能够把它变成一个成功的企业。但在实际操作中,莱布尼茨很难让计算器可靠地工作。因为就像当时的其他机械计算器一样,它基本上是一个美化了的里程计。就像近200年后查尔斯·巴贝奇的机器一样,当一连串的搬运发生时,要让多个轮子同时移动在机械上是很困难的。

莱布尼茨起初建造了一个木制的机器原型,打算只处理3或4个数字。但当他在1673年访问伦敦时向罗伯特·胡克这样的人演示时进展并不顺利。但他一直认为他已经算出了一切——例如,在1679年,他(用法语)写了“对算术机器的最后一次修正”:

1679对算术机器最后一次修正的书写(法语)

然而,1682年的注释表明,问题还不止这些:

1682年的笔记显示,这台算术机器还有更多的问题

但是莱布尼茨根据他的笔记起草了计划,并与一名工程师签约,建造了一个带有更多数字的黄铜版本:

根据莱布尼茨的笔记起草的计划

看到莱布尼茨为这台机器编写的“营销材料”很有趣:

莱布尼茨的机器“营销材料”

以及“手册”的部分内容(以365×24为“工作示例”):

机器的使用图表

完成详细的使用图表:

机器的详细使用图

尽管做了这么多努力,计算器的问题仍然存在。事实上,40多年来,莱布尼茨一直在调整他的计算器——以今天的货币计算,他在这上面总共花费了100多万美元。

物理计算器到底怎么了?当我参观莱布尼茨的档案馆时,我不得不问。“好吧,”我的主人说,“我们可以展示给你看。”在地下室里,还有一排排的盒子,里面放着莱布尼茨的计算器。它装在一个玻璃盒子里,看上去就像新的一样。

莱布尼茨计算器

所有部件都在那里。包括一个方便的木制搬运箱。配有曲柄手柄。如果工作正常,还可以在几分钟内完成任何基本算术运算:

带手柄的莱布尼茨计算器

莱布尼茨显然认为他的计算器是一个实用的项目。但他仍然想从中进行推广,例如试图建立一个通用的“逻辑”来描述机械连杆的几何形状。他还思考了数字和算术的本质。尤其对二进制数字感兴趣。

数个世纪以来,10以外的基数一直被用于娱乐数学。但是莱布尼茨认为基础2具有特殊的意义,而且可能是哲学、神学和数学之间的关键桥梁。他受到了鼓舞因为他意识到二进制数是易经他从到中国的传教士那里听说过,并认为这与他的精神有关characteristica universalis

莱布尼茨发现,可以建立一个基于二进制的计算器。但他似乎认为只有10垒才是有用的。

读莱布尼茨写的关于二进制数的文章很奇怪。其中一些内容清晰实用,但似乎仍然非常现代。但其中一些是在17世纪,比如说二进制如何证明一切都可以从无到有,1与上帝等同,0与零等同。

在莱布尼茨之后的几个世纪里,二进制几乎没有做过任何事情:事实上,直到最近几十年数字计算的兴起。因此,当我们看莱布尼茨的论文时,他的二进制计算可能是最“过时”的:

莱布尼茨的二进制计算

对于二进制,莱布尼茨在某种意义上是在寻找最简单的潜在结构。毫无疑问,当他谈到他所谓的“单子”时,他也在做类似的事情。我必须说,我从来没有真正理解过单子。通常当我认为我几乎理解了单子的时候,一提到灵魂就让我完全发疯。

尽管如此,莱布尼茨似乎得出“所有可能世界中最好的世界”是“从最少的原则中产生最多的现象”的结论,我一直觉得这很诱人。事实上,在我的史前研究中一门新的科学当我第一次开始制定和学习一维细胞自动机1981年,我考虑过给它们命名为“多元”,但在最后一分钟,当我再次对单体感到困惑时,我退缩了。

莱布尼茨和他的文件总有一种神秘感。库尔特Gödel-perhaps展示了他的偏执——似乎确信莱布尼茨发现了几个世纪以来被压制的伟大真理。莱布尼茨的遗书在他死后被封存了,这是事实,但令人担忧的是他在历史和宗谱等课题上的研究——以及这些课题可能涉及的国家机密。

莱布尼茨的论文很久以前就被拆封了,三个世纪后,人们可能会认为它们的每一个方面都会得到很好的研究。但事实是,即使经过了这么长时间,也没有人真正仔细阅读过所有的文件。这并不是说他们有那么多人。总共只有大约200000页,大概有十几个书架单元(只比我自己的稍大一点)个人档案仅从20世纪80年代开始)。但问题是材料的多样性。不只是很多科目。但也有很多重叠的草稿、笔记和信件,它们之间的关系不清楚。

莱布尼茨的档案里有一大堆令人眼花缭乱的文件。从非常大的:

莱布尼茨的大量档案

非常小(莱布尼茨的作品随着年龄的增长和近视的加深而变得越来越小):

莱布尼茨档案里很小的文件

档案馆里的大部分文件似乎都很严肃和认真。但是,尽管莱布尼茨那个时代的纸张成本很高,人们仍然可以找到为后代保存下来的偶尔涂鸦(那是不是斯宾诺莎呢?)

档案里有莱布尼茨涂鸦的文件

莱布尼茨与欧洲各地数百名名人和不太出名的人交换了邮件。因此,300年后的今天,人们可以在他的档案中找到雅各布·伯努利等人的“随机信件”:

雅各布·伯努利写给莱布尼茨的信

莱布尼茨长什么样?这是他的官方肖像,他没有戴超大的假发(甚至在他那个时代也被嘲笑),他戴假发可能是为了掩盖他头上的一个大囊肿:

莱布尼茨的官方肖像和雕像

作为一个人,莱布尼茨似乎一直是有礼貌的,有礼貌的,甚至是温和的。在某些方面,他可能给人留下了书呆子的印象,对各种各样的话题都进行了深度阐述。他似乎煞费苦心——就像他在信中所做的那样——去适应与他交谈的人,当他与神学家交谈时强调神学,等等。和同时代的许多知识分子一样,莱布尼茨一直没有结婚,尽管他似乎一直受到宫廷女性的喜爱。

在他的朝臣生涯中,莱布尼茨热衷于往上爬。但由于不喜欢狩猎或饮酒,他从未与他所工作的统治者的核心圈子很合拍。在他晚年,当汉诺威的乔治一世成为英格兰国王时,莱布尼茨加入他的宫廷是很自然的事。但是莱布尼茨被告知,在他离开之前,他必须开始写一篇他已经研究了30年的历史课题。如果他在死前这样做了,他很可能会去英国,与牛顿进行一种截然不同的互动。

在莱布尼茨的档案馆里,有很多论文,他的机械计算器,还有一件东西:他旅行时随身携带的一把折叠椅,他曾把它悬挂在马车里,这样他就可以在马车移动时继续写作:

莱布尼茨旅行时随身携带的折叠椅

莱布尼茨非常在意地位(他经常自称为“戈特弗里德·冯·莱布尼茨”,尽管没人确切知道“冯”从何而来)。作为对他发现的一种认可,他想要创造一枚纪念二进制数的奖章。他提出了一个详细的设计,包括标签无中生有的Omnibus;sufficit级(“万物皆可由无而生;所有需要的是1”)。但没人替他拿到奖牌。

但在2007年,我想为我的朋友格雷格·查廷(Greg Chaitin)准备一份60岁生日礼物,他长期以来一直是莱布尼茨的狂热爱好者。所以我想:为什么不去做莱布尼茨的奖牌呢?所以我们做了.虽然在背面,我们并没有像莱布尼茨建议的那样画一个公爵,而是用拉丁文来描述格雷格的作品。

当我参观莱布尼茨的档案馆时,我特意带了一枚奖牌的复制品,这样我终于可以在莱布尼茨的设计旁边放一枚真正的奖牌了:

莱布尼茨的原设计奖章

如果能知道莱布尼茨在他的坟墓上写了什么精辟的话,那就很有趣了。但事实是,莱布尼茨70岁去世时,他的政治命运正处于低潮,没有精心建造的纪念馆。然而,当我在汉诺威的时候,我还是迫不及待地想看看他的坟墓——坟墓上只有简单的拉丁文铭文“莱布尼茨的遗骨”:

莱布尼茨的坟墓

然而,在城市的另一边,还有另一种纪念活动——一家以莱布尼茨命名的饼干经销店:

莱布尼茨饼干店,以他的名字命名

那么最后我们该如何看待莱布尼茨呢?如果历史发展不同,从莱布尼茨到现代计算可能会有一条直接的线。但事实上,莱布尼茨试图做的很多事情都是孤立的——主要是通过从现代计算思维回溯到17世纪来理解。

根据我们现在所知道的,莱布尼茨明白什么,不明白什么。他掌握了一种概念,即对各种不同的事物进行形式的,象征性的,表征。他怀疑可能存在普遍的元素(甚至可能只有0和1),可以从这些元素中构建这些表示。他认为,从知识的正式符号表示中,应该可以用机械的方式计算其结果——也许还可以通过列举各种可能性来创造新的知识。

莱布尼茨写的一些东西是抽象的和哲学的——有时是令人抓狂的。但在某种程度上,莱布尼茨也很实用。他有足够的技术能力,经常能够取得真正的进展。他的典型方法似乎是从试图创建一个正式的结构来澄清事物开始的——如果可能的话,使用正式的符号。在那之后,他的目标是创造某种“微积分”,从中可以系统地得出结论。

实际上,他只有在一个特定领域取得了真正的成功:连续的“几何”数学。遗憾的是,他从未在离散数学方面做过更认真的尝试,因为我认为他可能已经取得了进步,甚至可以想象他已经达到了通用计算的想法。他很可能也已经开始以这种方式列举可能的系统我做了在计算的世界里。

他尝试过的一个领域是法律。但在这一点上,他肯定太早了,直到现在——300年后——计算法则才开始显得现实。

莱布尼茨也试图思考物理学。但是,尽管他在一些特定的概念(如动能)上取得了进展,但他从未设法提出任何大规模的“世界系统”,而实际上牛顿在他的“世界系统”中就是这样做的原理

在某些方面,我认为莱布尼茨没有取得更大的进步,因为他太努力了,不实用,像牛顿一样去解码实际物理的运算,而不仅仅是看相关的形式结构。因为莱布尼茨至少尝试过我在年所做的基本探索吗一门新的科学我认为他不会有任何技术上的困难,但我认为科学史可能会非常不同。

我逐渐意识到,当牛顿在与莱布尼茨的关于微积分发明的公共关系战争中获胜时,这不仅关系到信用;这也是一种思考科学的方式。从某种意义上说,牛顿是典型的实用主义者:他发明了工具,然后展示了如何利用这些工具来计算物理世界的实际结果但莱布尼茨有一个更广泛、更哲学的观点,他不仅将微积分本身视为一种特定的工具,而且还将微积分视为一个例子,应该激发人们在其他形式化和其他通用工具方面的努力。

我经常认为,我所遵循的现代计算思维方式,在某种程度上是显而易见的,而且在某种程度上是用正式的、结构化的方式思考事物的一个不可避免的特征。但我一直不清楚,这种明显的明显是否只是现代的结果,以及我们对现代实用计算机技术的经验。但从莱布尼茨的角度来看,我们得到了一些启示。事实上,我们看到的是,一些现代计算思维的核心甚至在现代很久以前就可能实现了。但是,环境技术和过去几个世纪的理解明确限制了这种思维的发展。

当然,这给我们带来了一个清醒的问题:由于我们没有遥远未来的环境技术,我们有多少未能从核心计算思维方式中意识到?对我来说,莱布尼茨的研究让我更加关注这个问题。至少有一件事看起来相当清楚。

在莱布尼茨的一生中,他见过的电脑基本还不到几台,而这些电脑所做的都是基本的算术运算。今天,世界上有数十亿台计算机,它们做各种各样的事情。但在未来,肯定会有更多的计算机(使之更容易被创造计算等价原理)毫无疑问,我们将达到这样一个地步:我们制造的每一件东西,基本上都是由各个层次的计算机构成的。结果是,所有的东西都是可编程的,包括原子。当然,生物学在某种意义上已经实现了这一限制。但我们将能够在任何地方完全做到这一点。

在某种程度上,我们已经可以看到,这意味着计算和物理过程的某种合并。但是,对于我们来说,怎么可能像这样的事情一样难以想象呢MathematicaWolfram|Alpha会是莱布尼茨的。

莱布尼茨于1716年11月14日去世。到2016年,那已经是300年前的事了。这将是一个很好的机会,来确保我们从莱布尼茨那里得到的一切最终都已完成,并庆祝三个世纪后莱布尼茨核心愿景的许多方面终于实现了,尽管是以他从未想象过的方式实现的。

24条评论

  1. 你好,新利app怎么样斯蒂芬·沃尔夫拉姆,

    这是一个非常有趣的阅读。作为一个设计/符号完美主义者,我同意符号的重要性以及计算在当今技术世界的重要性。你能来加州理工做演讲真是太令人兴奋了。我一定会参加的。作为一名CS专业的学生,你对物理和数学的兴趣与我的兴趣是一致的。你一直是我的英雄,这已经不是秘密了。

    约瑟夫·崔

  2. 极为精彩的文章!这个博客需要更多的流量!

  3. 太棒了,他尝试用二进制编码来创建他的计算器,这很有趣。我不知道在那个时代有这么先进的计算器(甚至是原型)。我认为计算技术应该是一个算盘或旋转圆盘类型/桌子类型的交易。我也想知道饼干的味道如何,我想尝尝。

    克里斯托弗
  4. 尼尔·斯蒂芬森(Neal Stephenson)的《巴洛克循环》(Baroque Cycle)是莱布尼茨(Leibniz)对计算兴趣的一个伟大的虚构描述。

  5. 谢谢分享!很高兴看到莱布尼茨和那些17世纪的思想家们,他们能用更少的时间看到更多的东西……但这仅仅是因为在他那个时代,他阅读了很多现代人或当时的前沿理论,就像他回顾他之前一千多年的经典著作一样..我们也可以通过向后看,看到更多的未来…!!

    分享莱布尼茨总结斯坦福网站…http://plato.stanford.edu/entries/leibniz/

    A.J。
  6. 这是一首很棒的曲子。我自己也是莱布尼茨的球迷,我认为他常常被低估。我对你个人的一件事很好奇,你说你使用的细胞自动机和汉斯·莫拉维克在《儿童》中讨论的一样吗?本周我刚刚完成了这项工作,发现这个主题的可能性非常有趣。如果是这样,你会推荐什么作为好的起始材料?再次感谢你对莱布尼茨历史的精彩研究,希望我能去柏林攻读博士学位(应用数学),如果是这样的话,我一定要去汉诺威。

    特里斯滕·文林
    • 谢谢你的评论!新利app怎么样Stephen Wolfram在这个主题上做了大量的工作,事实上,他写了一本书,详细地探讨了细胞自动机:一门新的科学

      享受吧!

      管理
  7. 不错的文章。但是Wolfram Alpha链接并没有很好地解释如何计算三角数的倒数和。事实上,这很容易评估一个非常具体的原因。

    一个三角数是n(n+1)/2,你们注意到了

    1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

    因此,无限和望远镜

    2 /(1(1 + 1) + 2 /(2(2 + 1) + 2 /(3(3 + 1)) + 2 /(4(4 + 1)) +…

    2/1 - 2/2 + 2/2 + 2/3 - 2/3

    = 2

    因为只有第一项幸存。

    这个结果只是序列连续差分的一个特例

    a(n) = a(n +1) - a(n)

    是求和算子的逆吗

    a(1)+..+a(n)=a(n+1)–a(1)。

    这是微积分基本定理的离散版本。

    伊兰

  8. 莱布尼茨饼干:所有饼干中最好的。

    泰勒
  9. 谢谢!的好材料!

    马塞拉
  10. 莱布尼茨和牛顿是两位把世界想象成机器的最伟大的先驱科学家/哲学家。当然,他们都是基督徒,认为上帝是机器的操作主体。但如果上帝并不存在,那谁来操作机器呢?
    机器,或者它背后的系统逻辑,并不是最极端的思维方式——有一种更高层次的逻辑,它可以在没有操作主体的情况下思考这一切,因为它本身就是一个操作主体。
    巴西逻辑学家路易斯·塞尔吉奥·桑帕约(Luiz Sergio Sampaio)创建了一个逻辑系统,称为超辩证逻辑系统(hyper辩证逻辑系统,HLS),它解释了所有的思维和存在方式,特别是最高的逻辑,超辩证逻辑。HLS能够解释从原子粒子的结构到人类的思维和发展,包括他的社会存在。除了几篇英语文章,如关于希格斯玻色子和物理力和原子粒子结构的文章,他的作品都是葡萄牙语。
    如果有人对HLS感兴趣,请给我发信息:merciogomes@gmail.com.´虽然我相当一位人类学家和不理解的物理或数学(除了被一个朋友格雷格Chaitin´s),我的工作,之后巴门尼德´“思考,都是一样的”,前提是人能够弄清楚世界因为他们都共享相同的逻辑结构。
    沃尔夫拉姆对莱布尼茨的敏感观点是超辩证逻辑发挥作用的一个例子。

  11. 很好的文章。让我惊讶的是,我们对莱布尼茨的理解是如此的理所当然。这个象征融合的符号展示了简单的数学普遍形式主义是如何跨越国界和文化的。好主意似乎总能得到普遍认可,就像成功有许多父亲一样。令人振奋的是,他的勋章的一个真实版本被制作出来了,这是对一个伟大人物的恰当致敬。

    就我们作为一个物种的计算能力而言,想到我们确实有能力在原子水平上编程是令人兴奋的。IBM最近发布的《一个男孩和他的原子》无疑为未来及其潜力指明了方向。一位朋友最近发布了一幅漫画,其中的标题说了一些有效果的东西,“那些不研究历史的人注定要重蹈覆辙,而那些研究历史的人注定要看着其他人重蹈覆辙。”这在谈到我们的新力量及其对子孙后代的意义时可能是恰当的。

    我认为未来科技带来的好处大于危险。我们有一个梦想,那就是我们所有人的社会平等的理想终于可以实现了。随着科技的发展,它有潜力允许积极逃避现实和个人成就,这是许多人渴望的。所有人都可以实现梦想,这是一个值得注意的有价值的社会潜在目标,也许现在终于可以实际考虑。然而,在所有的事情中,目标越高,风险就越大,我们在流行文化中看到这种恐惧,僵尸、外星人和其他形式的末日媒体的流行。

    在这些问题上进行公开的社会对话是太多还是太快了?我不知道。许多人仍然认为这是幻想,但现实是,在世界大部分地区,我们的技术仍然是一种方便,而不是负担,尽管当前的事件似乎表明潮流正在开始转变。当然,在竞争环境中,缺乏技术悟性几乎是无法忍受的。

    无论如何,这是一篇关于一位伟人的非常好的文章。2013年5月的一个周末,这是一篇愉快的读物!

  12. 伟大的文章,莱布尼茨,牛顿,伽利略,杰出的自然哲学家,已经过时了,我们仍然欠这些科学巨人如此多的尊重。
    谢谢你的来信。

    莫里斯·巴特勒
  13. 斯蒂芬,

    迷人的职位。我记得在德国访问过另一个数学网站

    http://www.math.uni-goettingen.de/historisches/index_en.html

    许多年前(与布莱斯·德维特和拉里·斯马尔一起)在一个夏天开车从一个会议到另一个会议。对于我们这些对科学和数学历史感兴趣的人来说,这里似乎有许多保存完好的博物馆值得一游。

    史蒂夫·克里斯滕森
  14. 你很幸运读过莱布尼茨的原著。我也感谢那些将他的著作保存在纸上超过三个半世纪的人。我向莱布尼茨这样的伟人致敬,他真的是数学巨人

  15. 非常好的文章,谢谢分享。

    我无法阅读你博客中与雅各布·伯努利的通信,但在精确科学史档案中,h·j·m·博斯的一篇论文中描述了约翰·伯努利的一段悲伤/有趣的经历:

    LEIBNIZ在JAKOB BERNOULLI 1690年第一次看到“积分”这个术语的使用,后来他试图说服JOHANN BERNOULLI采用“和”这个术语:
    为了我们之间的一致和和谐,为了整个研究领域的一致和和谐,我把这个问题留给你们自己考虑,用求和的术语代替你们的积分。例如,fydx表示所有y乘以相应dx的和,或者所有这些矩形的和。我问这个主要是因为这样,几何和,或求积,最符合数列的算术和或和。(……)我必须承认,我是通过考虑和与差的相互作用而发现这整个方法的,我的考虑是从数的序列到线或坐标的序列。(44 -原拉丁文脚注)

    这一请求成为约翰·伯努利解释“积分”一词起源的契机:
    此外,关于微分和的术语,我很乐意在将来使用你们的求和术语,而不是我们的积分,如果积分这个术语不被某些几何学家所重视,我早就这么做了[参考法国数学家,特别是研究过伯努利积分学的霍皮塔]他们承认我是这个术语的发明者。因此,如果我现在用一个术语和另一个术语表示同一事物,人们会认为我相当模糊了事物。我承认,这个术语确实与事物本身并不完全一致

    (当我把微分看成一个整体或积分的无限小部分时,这个词就浮现在我的脑海里;我没有再多想。

    这是一个可悲的例子,在数学的历史上,选择一个糟糕的术语是太常见了。令人遗憾的是,更清晰的术语可以帮助学生理解“积分”……

    在我的网站上,我对贝努利关于莱布尼茨曲率半径公式的证明进行了现代的重新计算。

    http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/Lecture1/HTMLLinks/Lect1_6.html

    我并不是一个历史学家,但我发现一些古老的几何论据比一些当代的基础微积分证明更有说服力,所以我想看看,在古老的证明中还需要添加些什么,才能让它变得“严谨”,就像罗宾逊的无穷小定理一样。

    ==

    你可能知道,罗宾逊用莱布尼茨的术语“单子”表示无限接近给定点的点的邻域。我认为这并不能说明莱布尼茨对单子的看法。

    ==

    再次感谢,

  16. 亲爱的斯蒂芬,
    谢谢你的漂亮的图片和全文。
    来自阳光灿烂的巴西的问候

  17. 这是对莱布尼茨生平和作品的精彩总结!谢谢你与我们分享!

  18. 关于莱布尼茨的帖子非常有趣,但是你在处理这些珍贵的旧文件时不应该戴手套吗

    @pblakez
  19. 怀特海在《思维模式》中说:

    有一本书要写,书名应该是《心灵》
    莱布尼茨。”

    迈克尔•斯科特
  20. 关于戈特弗里德·莱布尼茨的伟大文章,他是历史上伟大的思想家之一,他的工作涉及人类努力的许多领域,他似乎是几个人生活在一个身体里。是的,如果莱布尼茨的抽象思维还在,想象一下他会给我们的进化带来多大的进步。

    查尔斯·罗伊
  21. 是只有我觉得这些音符和伽罗瓦的布局风格相似吗?我今天看到的大多数笔记都更有条理,更“整洁”。在那个时期,看起来“分散”的音符很常见吗?还是试图用最少的纸?

    亚历克斯M。
  22. 这是一篇多么伟大的文章啊!!!!!
    非常感谢你。

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