100年以来数学原理

一百年前的这个月,怀特黑德和罗素的第一卷将近2000页的巨著出版了数学原理这本书出版了。经过十年的酝酿,它包含了一页又一页,就像下面的一页,致力于展示数学的真理是如何从逻辑中推导出来的。

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数学原理因为投入了大量的精力,它鼓舞人心。作为一个一生中大部分时间都在从事大型学术项目的人,我对它有一定的同情。

这篇文章也在讨论中创意创造者:对一些名人的生活和想法的个人观点»

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在我自己的工作中,Mathematica股票与数学原理将数学形式化的目标——但通过建立在计算的概念之上,它采用了一种相当不同的方法,产生了相当不同的结果。而在一种新的科学,我的目标之一,也喜欢数学原理是为了理解数学背后的东西——尽管我的结论再次与之大相径庭数学原理

从欧几里得开始,就有了把数学证明作为一种形式活动的概念。但是,一直以来都有一个默认的假设,即数学——它的数字和几何图形——在某种程度上仍然在谈论自然界的事物。

然而,在19世纪中期,随着非欧几里得几何和普通数字以外的代数的引入,这种情况开始改变。到了19世纪末,人们开始把数学看作是抽象的形式主义,独立于自然世界。

与此同时,自亚里士多德以来,在某种意义上又出现了另一种形式主义——逻辑——它最初的目的是代表特定的理想化的人类论点,但逐渐被假定为代表任何有效的推理形式。在逻辑学的大部分历史中,逻辑学的研究和教学与数学是完全分开的。但在19世纪,开始有了联系。

George Bole展示了基本逻辑如何在代数术语中制定(“布尔代数”)。然后在德国的一些隔离工作中,在德国的一些隔离工作,开发了谓词逻辑(“为所有人”,“存在”等),并使用了一系列集合理论,试图以纯粹的逻辑术语描述数字和数学。

正是在这种背景下数学原理他出生了。它的两位作者为这个项目带来了不同的东西。阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德(Alfred North Whitehead)是剑桥大学的知名学者,他于1898年38岁时出版了通用代数的论文“对与普通代数相关的各种符号推理系统进行彻底的研究”。这本书讨论了布尔代数、四元数和矩阵理论,将它们作为代数和几何中干净的(如果相当传统的话)主题处理的基础。

伯特兰·罗素年轻十岁。他在剑桥大学读本科时学习过数学,到1900年28岁时,他已经出版了从德国社会民主到几何学基础和莱布尼茨哲学的书籍。

数学的本质和数学真理是哲学家们争论的共同话题——自柏拉图以来,在某种程度上一直如此——而罗素似乎相信,通过利用最新的进展,他可以一劳永获地解决这些争论。1903年,他出版了数学原理该书的第一卷(第二卷从未出版过)——本质上是对如何用逻辑术语来看待数学标准领域的概览,而非形式主义。

他的基本概念是,通过使用逻辑来收紧所有相关的定义,应该可以以一种严格的方式导出数学的每一部分,从而立即回答有关它的性质和哲学的问题。但在1901年,当他试图从逻辑的角度理解无限的概念,并思考诸如说谎者悖论(“这个陈述是假的”)等古老的逻辑问题时,他遇到了一个似乎是根本不一致的问题:一个自我参照的悖论(“罗素悖论”),关于所有不包含自己的集合中的集合是否实际上包含了自己。

为了解决这个问题,罗素引入了他对数学逻辑最具独创性的贡献:他的类型理论——本质上试图区分集合、集合的集合等等,把它们视为不同的“类型”,然后限制它们的组合方式。我必须说,我认为类型是一种黑客的东西。事实上,我一直觉得“数据类型”的相关概念在很大程度上阻碍了编程语言的长期发展。(Mathematica例如,它通过避免使用类型获得了很大的灵活性——即使它在内部使用类似类型的东西来实现各种实际效率。)

但早在1900年左右,当罗素和怀特黑德都试图扩展他们的数学形式时,他们决定投入这个项目,这个项目将花费他们十年的时间,成为数学原理

特别是自从1600年代后期的Gottfried Leibniz的工作以来,有讨论发展数学的符号这超越了人类语言的不精确性。1879年,戈特洛布·弗雷格介绍了他的发明Begriffsschrift(“概念脚本”)-这是概念和功能上的一个重大进步,但它有一个奇怪的二维布局,几乎不可能阅读,也不可能经济地打印。19世纪80年代,朱塞佩·皮亚诺(Giuseppe Peano)发明了一种更简洁、更线性的符号,其中大部分至今仍在使用。

皮亚诺选择用一种他自己构建的语言(基于古典拉丁语)来写他的叙述文本,这对他的作品的传播没有帮助。但是,1900年,罗素在巴黎连续参加了两场关于哲学和数学的会议(希尔伯特在那里提出了他的问题),他遇到了皮亚诺,并确信他的数学正规化的尝试应该以皮亚诺的符号和方法为基础。(罗素在会议上做了一个关于时空事件绝对排序的前相对论哲学演讲,而他的妻子Alys则做了一个关于女性教育的演讲。)

数学可以由最初的一组小公理建立起来的想法,自欧几里得时代就存在了。但罗素和怀特黑德想要得到最小可能的集合,让它们不是基于观察自然世界的想法,而是基于他们感觉的更坚实和普遍的逻辑基础。

随着计算机的当今经验和编程,它似乎并不令人惊讶的是,有足够的“代码”应该能够从逻辑和集的基本概念开始,并成功建立数字和其他标准的数学结构。实际上,Frege,Peano和其他人已经在1900年之前开始了这个过程。但是通过它非常重量,数学原理似乎令人惊讶和有影响。

当然,它没有伤害整个印象,直到超过80页进入第2卷,以便能够证明(作为“命题* 110.643”),即1 + 1 = 2(与评论“[此]主张偶尔有用“)。

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我不知道Russell和Whitehead是否有意数学原理但最终罗素估计,几年后,大概只有6个人读过整本书。对于现代人来说,使用Peano的点符号代替括号尤其困难。还有定义的问题。

在第一卷的末尾,数学原理列出了大约500个“定义”,每个定义都有一个特殊的符号。在许多方面,这些都与内置函数Mathematica.但在数学原理,而不是被给予基于英文的名字,所有这些对象都被分配了特殊的符号。前几个并不难理解。但是到了第二页,人们看到了各种奇怪的象形文字,而我,至少,对破译这些文字失去了希望。

定义列表

定义列表

除了这些符号的问题,在数学的形式化之间还有一个更根本的区别数学原理而在Mathematica. 因为数学原理目的是展示真正的数学定理,并表示证明它们所涉及的过程。但在Mathematica,目标是计算:获取数学表达式,并对其进行评估。

(这些目标上的差异导致了许多性格上的差异。例如,数学原理正在不断尝试提供间接指定它想要谈论的任何结构的限制。在Mathematica,整个想法是有明确的符号结构,然后可以计算。)

在此后的一百年里数学原理,在以形式化的方式提出数学定理方面进展缓慢。但是数学计算的思想已经惊人地发展起来,并改变了数学的用途及其发展的许多领域。

但是概念上的目的数学原理?罗素在他的前言中解释道数学原理他打算“将整个[数学主张]减少到逻辑的某些基本概念”。事实上,他甚至使他被认为是对“纯数学”的一种非常一般的定义,作为只有含有变量的所有真正逻辑陈述P.问:而不是像“纽约市”这样的字面意思。(他认为,应用数学将来自于用文字替换变量。)

但为什么要从逻辑出发呢?我认为罗素只是假设逻辑是最基本的可能的东西——所有形式过程的终极无可争议的表示。他认为,传统的数学结构——比如数字和空间——与我们这个世界的细节有关。但是逻辑,他认为,是一种“纯粹的思想”,是一种更为普遍的东西,完全独立于我们这个世界的细节。

在我自己的工作中导致一种新的科学在美国,我从研究自然世界开始,但发现自己越来越被引导去超越传统的数学结构。但我并没有得出逻辑结论。相反,我开始考虑所有可能的规则类型——或者像我倾向于描述的那样(利用现代经验),所有可能的程序的计算宇宙。

其中一些程序描述了自然世界的一部分。有些给我们提供了有趣的技术素材。有些对应于传统的形式系统,如逻辑和数学。

要做的一件事是观察所有可能公理系统的空间。现代方程系统与所考虑的这类蕴涵方程组相比存在一些技术问题数学原理. 但基本的结果是,在所有可能的公理系统的空间中,都散布着历史上在数学和相关领域发展中出现的特定公理系统。

逻辑在某种程度上是特殊的吗?我认为不是。

数学原理罗素和怀特黑德最初用一套相当复杂的传统公理来定义逻辑。在这本书的第二版中,他们指出,通过用Nand(谢弗中风)而不是And、Or和Not来写所有的东西,就有可能使用一个更简单的公理系统。

在2000年,通过对可能公理系统的空间进行搜索,我能找到标准命题逻辑的最简单的(方程式)公理系统:只有一个公理(一种B.).C).(一种((。一种C).一种)) =C.从这个结果,我们可以告诉逻辑在可能的形式系统的空间中的位置:在一个按大小排序的公理系统的自然枚举中,它大约是人们会遇到的第50000个形式系统。

一些其他传统的数学群体理论领域 - 发生在可比位置。但大多数需要更大的公理系统。最后,图片似乎与一个罗素和白头想象的截然不同。这不是人类思想构思的逻辑 - 是一切的根源。相反,有些可能的正规系统,一些由自然世界挑选的,一些由数学的历史发展挑选,但大多数都没有投入。

以书面形式数学原理在美国,罗素的主要目标之一就是证明所有的数学都可以从逻辑中推导出来。事实上这本书的影响力给直接支持这个想法,和这样的信誉给逻辑(罗素)罗素能够花的其余大部分他的长寿自信地展示逻辑作为一个成功的方式来解决道德、社会和政治问题。

当然,在1931年,库尔特·哥德尔证明了没有一个有限系统——逻辑或其他任何东西——可以用来推导所有的数学。事实上,他论文的标题指的是正式体系的不完整性数学原理.然而,到这个时候,罗素和怀特黑德都已经转向了其他的追求,没有人回来解决哥德尔定理为他们的项目。

那么,有人能说数学背后的逻辑思想是错误的吗?在概念层面上,我认为是这样。但在一个奇怪的历史转折中,逻辑正是目前实际用于实现数学的东西。

因为目前所有的计算机内部都是由数百万个逻辑门组成的电路,每个逻辑门通常执行一个Nand操作。例如,当Mathematica它在计算机上运行,并实现数学运算,它通过在计算机硬件中编组逻辑运算精确地做到这一点。(需要说明的是,计算机实现的逻辑是基本的、命题的逻辑,而不是更复杂的、与集合理论相结合的谓词逻辑数学原理最终用途。)

我们从计算普遍性地了解 - 更准确地说计算等价原理-事情不需要以这种方式工作,有许多非常不同的计算基础可以使用。事实上,随着计算机向分子尺度发展,标准逻辑很可能不再是最方便使用的基础。

但是为什么逻辑在今天的计算机中使用呢?我怀疑这其实和别的什么都没有关系数学原理. 历史上数学原理为促进逻辑性的重要性和首要地位做了很多工作,它留下的光辉在许多方面仍与我们同在。只是我们现在明白,逻辑只是我们所能做的事情的一个可能基础,而不是唯一可以想象的基础。

(熟悉逻辑技术方面的人可能会抗议,“真理”的概念在某种程度上与传统逻辑紧密相连。我认为这是一个定义的问题,但无论如何,数学已经清楚地表明,计算答案比仅仅陈述真理重要得多。)

一百年后数学原理即使是关于数学基础的基本问题,我们仍有许多不了解的地方。在接下来的几百年里,我们很想知道会有什么进展。

当我们看数学原理在美国,它强调展示其作者推导出的特定数学真理。但是今天Mathematica实际上,每天都有数百万的数学真理被自动传递,这些真理是为许多特定的目的而定制的。

然而,它仍然是它与恰好在数学或其他地方学习的一些正式系统运行的情况。甚至在一种新的科学,我专注于特定的程序或系统,这是一个原因,或者我认为有趣。

然而,在未来,我怀疑将有另一个级别的自动化。可能会花费远远超过一百年,但随着时间的推移,它不会常见,而不仅仅是为了使计算订购,而是为了命令这些计算在眼睛的眨眼之间基于效果的系统并像整体一样发展一些东西数学原理对某一特定目的作出反应。

发布在:18luck 数学哲学

15个评论

  1. 谢谢,谢谢。这是一个惊人的帖子。感恩节晚餐后橄榄球的绝佳选择。请保持好博客帖子。

  2. 迷人的博客。期待购买Mathematica 8的家庭版。

    Robert L。
  3. 从上面的帖子:

    “……对数学来说已经很清楚的是,计算答案比仅仅陈述事实重要得多。”

    计算出来的答案不就是真理吗?

    在我看来,任何被称为“逻辑”的东西,都只不过是一种试图正式表达一种被称为“普遍真理”的东西,或者一种每一个理性存在都能认同的真理。给出一组这样的公理(或者你指出的单个公理),《数学原理》无非就是试图从这些公理构建一个“关于数学的一切理论”。

    给定所有形式的等价,就没有理由不能使用任何等价的公理集来构造与完全相同的主题(或任何主题)相似的东西。它们可能是不同的公理,不同的符号和意义集,或者是抽象的东西,或者是具体的东西,比如杠杆、滑轮、橡皮筋、绳索和轴承。我们知道"逻辑"只是个尝试。

    我很想看看新系统能解决什么问题,而不是基于我们已经使用的系统。这个系统可能产生什么类型的问题?我们对可计算性的概念可能会受到挑战吗?

    霍普加马
    • 亲爱的hoppah,

      谢谢你的信息。你触及了一个迷人的概念,数学中的真理概念。数学中的真理不是一个绝对的概念。它依赖于被引用的数学理论,它与Kurt Gödel在30年代早期提出的证明的概念是脱节的。Gödel所做的是表明一个人可以知道一个理论中的数学事实的真理,但却不能从该理论的内部证明问题中的真理。更具体地说,哥德尔所做的是为了证明一个理论能够执行标准算术是不一致的,也就是说,一个可以证明任何语句使用理论(甚至互相矛盾的声明),或不完整的,这意味着将会有一些“真理”理论,从内部不能证明这个理论。注意“真理”周围的引号——因为只有在元理论层面上,一些东西才能被称为真理,也就是说,来自原始理论之外的东西。

      你可能会认为,所有的真理都可以知道,证明在这些层面,但哥德尔还显示,不管外面原始理论你走多远,总会有一些逃避的事实,无论每个meta-theory包含前一个,回到最初的“理论”——除非你让你的元理论不一致(这是无趣的,因为在一个不一致的理论中,所有东西都同时是正确和错误的)。

      另一方面,Gödel的工作也与两组公理是否等效(如果它们相互暗示的话)的问题有关。他的研究表明,这样的问题是不可确定的,也就是说,没有办法确定它们是否真的相等。类似地,艾伦·图灵在计算方面的工作证明了没有算法来决定这个问题。

      正如你所说,“逻辑”或某种“逻辑”是对传统数学的一种形式化的尝试,在《数学原理》中。你想知道其他基金会是否会把我们引向本质上不同的体系,这是对的。事实的确如此。这篇文章强调的是,在《数学原理》中做出的特定选择可能并不比任何其他选择更特殊或更基础,比如一个计算处于更低或更基础水平的框架。然而,计算方法可能更自然,因为它似乎是有意义的,自然过程遵循简单的规则,而很难把它们视为执行逻辑操作。计算出的答案就像证明(有实际的数学对应关系)。它们是一组具有无真相值的规则。对于某些人来说,今天的天气是否具有真值是一个有意义的问题,但意义不是系统本身可以传递的东西。因此,就像Gödel的证明意义一样,计算也从根本上不同于真理。

      谢谢你的评论。

      赫克托耳Z。
      沃尔夫勒姆研究

      斯蒂芬妮·普莱瑟
  4. 考虑到拉塞尔的类型的理论“成为一个黑客”是勇敢的。在此考虑到类型的编程语言之后更加勇敢,因为在Mathematica中,每个表达都必须有一个头,这是它的类型。但Mathematica中的好处是,一个人可以将这种类型(头)变为另一种类型(头) - 强类型的编程语言通常会尝试防止这种操作,只允许几个演员。

    但是物理呢?这里的类型是单位(m, kg, s,开尔文,…),重要的是用尽可能多的方式表达能量(或者更准确地说是动作)。如果它不起作用,人们就必须寻找一个新的(普遍的)常数。例如,普朗克常数允许用频率来表示能量——非常酷。

    你认为物理学中的单位是一个难题吗(因为研究人员还没有找到所有的宇宙常数),如果是的话,你将如何制定一个作用原理?

    克劳斯大学
  5. 再保险:公理系统

    公理化是数学和自然语言的基础,也许还有更多。最简单的公理是什么?这不是"符号代表着什么"吗?因此,公理学是数学和自然语言的基础,因为数学和自然语言都是代表事物的符号系统。

    谢谢你的博客:我爱它!:-)

    史蒂夫·齐默尔曼
  6. 离散性不是当今计算的基础,也是逻辑的基础吗?事实上,离散性,即在离散点(一维空间)上一个与另一个的描述,从外行的角度来看,似乎是经典力学的基础,即使在“现实”中,经典力学不是离散的,因为存在着经常被忽略的错误。

    作为量子力学载体的统计力学的“需要”已经证明了无法保持离散性,并且在这个过程中强调了有效无界的范围的使用。

    您无法解决'现实'是否最终是离散(数字)或无绑定的,而不会偏向一个或另一个。是离散的,数字或逻辑只是使“推理”或计算更容易,并且显然更精确或至少是易遗传的。

    考虑到在无界上下文中设置离散关系的混合,使用和研究细胞自动机是非常有前景的,而它似乎比在有界上下文中研究密集关系的倒数“更容易”。

    《数学原理》似乎就是这样开始的;在追求离散层面的正规化过程中,它无意中发现了(潜在的)无限密度的关系。

    维贾伊
  7. 惊人的主意!计算超越了晶体管和电子的布尔逻辑,只是让原子世界为你做所有的计算,但在逻辑上是一致的。哇,我要买Stephen Wolf新利app怎么样rams的书。谢谢你!

    约旦帕尼
  8. 随着数学的应用,我想到了一天的教授。但我有困难解释它,特别是通过使用非印度尼西亚语。此消息是创建的房屋帮助“意味着翻译”(谷歌)。

    你好

    Nasrullah Idris -印度尼西亚


  9. 我想把伯特兰·罗素逻辑的形式和语法应用到现实世界中。我想获得一个真实生活的形式逻辑表达式。f、 我想用数理逻辑的形式把鹅卵石、树木等公式化。卡纳普的项目与此类似。请介绍一些对我的研究有帮助的参考资料。这是我在大学的论文。
    谢谢你!

    塔希尔
  10. 奇妙的评论和分析。感谢您的写作和分享!

    s D。
  11. 伟大的论文。很高兴看到你在某处幸福von neumann&quine,因为它们都是这样的故事中的主要角色。8年后,唉,我相信你以来“......搬到了其他追求......”

    迟到了
  12. 伯特兰·罗素最近出现在我的新闻提要上:https://thehumanist.com/magazine/march-april-2020/features/peace-love-and-mathiness

    他去世已经50年了。这让我想起了我在大学时读他的作品(主要是关于无神论的),我记得他写了《数学原理》,我开始研究它。于是我找到了这篇文章。

    现在,我不是数学家,所以我并不假装理解PM,但在维基百科上快速阅读一下,就会发现它已经被Zermelo–Fraenkel集合论所取代。ZF集理论的一个扩展,Tarski–Grothendieck集理论,已被用于证明检查软件,如Mizar和Metamath,其中包含大量已证明定理的数据库。

    所以,最终,这些系统实现了罗素和怀特黑德多年前就开始做的事情。从这个意义上说,我认为PM是成功的,因为它激励了许多其他人去完善集合理论并开发自动的证明检查。

    我想听到更多关于证明检查软件及其与你的Mathematica的关系。

    感谢这篇有趣的文章。

    格雷戈里·霍姆博格
  13. 哇,斯蒂芬,你读过《逻辑哲学》吗?

    或者《完美宇宙》——萨德·罗伯茨?

    有没有可能在你即将举行的网络研讨会上占有一席之地?

    乔纳森·李斯特
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