Kurt Gödel的100岁生日

(本文最初发表于NKS论坛)。

上周五(2006年4月28日)是库尔特·哥德尔的100岁生日。我同意试着写一些关于它的东西在报纸上发表…这有两个缺点:(a)我不得不压缩我所说的,(b)它实际上没有完成…

尽管如此,我还是认为论坛上的人可能会发现我的草稿很有趣,所以就在这里了。请注意,这篇文章并没有经过最后的润色……


当库尔特Gödel出生的时候——一百年前的今天——数学领域似乎已经接近完整。两千年的发展只是被编入了一些公理,从这些公理看来,人们几乎可以机械地证明或否定数学上的任何东西——也许还可以延伸到物理学上。

25年后,事情进展迅速,在一次小型学术会议结束时,一位安静但雄心勃勃的、参与维也纳圈的新博士大胆地说,他证明了一个定理,整个项目最终肯定会失败。

在此后的75年里,被称为Gödel的定理被赋予了近乎神秘的意义,为计算机革命播下了种子,但与此同时,它实际上被工作中的数学家们忽视了——而且被视为与更广泛的科学无关。

然而,Gödel定理背后的思想还没有走到尽头。事实上,我相信今天我们已经准备好迎接科学和技术的巨大转变,而科学和技术的原则将成为这一转变的核心。

Gödel的原著相当深奥。他拿了逻辑和算术公理,问了一个看似矛盾的问题:我们能证明“这个命题是不可证明的”吗?

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有人可能认为,数学公理本身对此没有什么可说的。但哥德尔证明,事实上,他的陈述可以完全编码为关于数字的陈述。

然而声明说这是无法证明的。因此,这里有一个数学中的陈述,是数学无法证明的:一个“不可判定的陈述”。它的存在立即表明数学有某种不完整性:有数学方法无法达到的数学陈述。

这些想法可能就停留在这里。但是,在Gödel的证明的技术细节中,出现了一些令人难以置信的实际重要性。因为Gödel用数字对语句进行编码的看似奇怪的技术,是向通用计算思想迈出的关键一步——这意味着软件的可能性,并启动了整个计算机革命。

而言,电脑给了我们一个现代的思维方式理解哥德尔所做的:虽然他自己实际上只是想谈论一个计算,他证明了逻辑和算术实际上是足以构建一个通用的计算机,可以按照程序执行任何可能的计算。

并不是所有的数学领域都是这样的。例如,初等几何和初等代数没有通用的计算,也没有Gödel定理的类似物——我们甚至现在有实用的软件可以证明关于它们的任何陈述。

但是通用计算——当它出现的时候——有许多深刻的后果。

精确科学一直被我称为计算可约性的东西所主导:找到快速计算系统功能的方法。牛顿展示了如何找出(理想的)地球在一百万年后的位置——我们只需要计算一个公式;我们不需要追踪上百万个轨道。

但是,如果我们研究一个具有通用计算能力的系统,我们就不能再指望像这样“超过”它了;相反,要找出它的作用可能需要我们进行不可简化的计算工作。

这就是为什么预测电脑会做什么,或者证明软件没有漏洞是如此困难。这也是数学之所以困难的核心原因:建立一个给定的数学结果可能需要大量的计算工作。

这就是导致不确定性的原因。因为如果我们想知道,比如说,任何大小的数字是否具有某种性质,计算不可约性可以告诉我们,如果不检查无穷多个情况,我们可能无法确定。

然而,在职的数学家们从来没有过多地担心过不确定性。当然,Gödel的原始陈述是遥远的,因为它被翻译成数学形式时,长度是天文数字。而这些年来建立起来的为数不多的替代方案在实践中似乎也同样无关紧要。

但我自己的计算机实验表明,事实上,不确定性近在咫尺。事实上,我怀疑,当今数学中许多著名的未解问题,在通常的公理下,将会是不可判定的。

不确定性没有变得更加明显的原因是,尽管数学家们以抽象的概括性闻名,但他们和大多数科学家一样,倾向于专注于他们的方法能够成功解决的问题。

早在1931年,哥德尔和他的同时代人甚至不确定哥德尔定理是一般性的,还是仅仅是逻辑和算术形式主义的一个怪癖。但几年后,当图灵机和其他计算机模型显示出同样的现象时,它开始变得更加普遍。

尽管如此,Gödel还是想知道是否会有类似于他的定理的人类思维或物理学。我们仍然不知道完整的答案,尽管我肯定地期望心灵和物理在原则上都像通用计算机一样——通过Gödel-like定理。

我自己的工作中最大的惊喜之一是找到通用计算是多么容易。如果一个人系统地探索可能的计算系统的抽象宇宙,他不需要走得太远。人们不需要像现代电子计算机那样的十亿个晶体管,甚至不需要复杂的逻辑和算术公理。简单的规则可以用简短的句子陈述,或者用三位数总结,就足够了。

几乎不可避免的是,这些规则在自然界中是常见的——带来了不可判定性。太阳系最终是稳定的吗?生化过程会失控吗?一套法律会产生毁灭性的后果吗?我们现在可以预期,这类问题的一般版本是无法确定的。

这可能会让格德尔感到高兴,他曾说他在美国宪法中发现了一个漏洞,他在生日时给了他的朋友爱因斯坦一个矛盾的宇宙模型,他告诉一位物理学家我知道,出于理论原因,他“不相信自然科学”。

即使在数学领域,格德尔的研究结果也总是被认为与主流有点格格不入。几十年来,他继续为数理逻辑提供核心思想,甚至“自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家”(约翰·冯·诺依曼称他为)变得越来越孤立,致力于用逻辑将神学形式化,确信莱布尼茨在1600年代的发现受到压制,1978年,他妻子的健康每况愈下,饿死了,他怀疑医生,害怕中毒。

他给我们留下了不确定性的遗产,我们现在意识到,这种不确定性不仅影响深奥的数学问题,还影响科学、工程、医学等领域的所有问题。

人们可能会认为不确定性是对进步的一种限制,但在许多方面,它反而是富有的标志。因为它带来了计算的不可约性,以及系统建立行为的可能性,超出了可以用简单公式总结的范围。事实上,我自己的研究表明,我们在自然界中看到的许多复杂性,正是源于此。也许这也是我们如何从决定论的基本法则中建立表面自由意志的本质。

在科学和技术领域,我们通常通过精心设计来精雕细琢我们的理论和设备。但是,用Gödel的方法开创的抽象计算术语来思考,我们可以想象出一种替代方法。因为如果我们用规则或程序来统一地表示所有东西,原则上我们就可以明确地列举出所有的可能性。

然而,在过去,这样的事情似乎从来都不太明智。因为它隐含的假设是,创建一个具有有趣行为的程序需要明确的人类设计——或者至少是像自然选择这样的努力。但当我开始实际做实验并系统地运行最简单的程序时,我发现,计算世界充满了各种各样复杂的行为。

已经有证据表明,我们在生物学中看到的许多非凡的形态都来自于这个宇宙的采样。也许通过搜索计算宇宙,我们可能会找到——甚至很快——我们自己的物理宇宙的终极潜在定律。(然而,要发现它们的所有结果,仍需要进行不可简化的计算工作。)

探索计算宇宙也将数学带入了一个新的环境。因为我们现在也可以看到,我们最终从古代巴比伦的算术和几何学中继承了大量的数学替代品。例如,基本逻辑公理,远不是什么特殊的东西,现在只是作为大约第50000种可能性出现。而数学,长期以来是一门纯理论科学,必须采用实验方法。

对计算宇宙的探索似乎注定要成为未来科学的核心知识框架。在技术领域,计算宇宙提供了一个巨大的新资源,可以搜索和挖掘系统,为我们日益复杂的目的服务。正是这种不可确定性,保证了有无穷无尽的令人惊奇和有用的材料有待发现。

因此,从Gödel关于数学的深奥定理中,我相信将成为21世纪科学和技术的决定性主题。

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